Espace vectoriel/Dimension

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Soient E et F deux $\mathbb {K}$-espaces vectoriels.

Existence de bases

Début d’un théorème

Théorème de la base incomplète

Soient G une partie génératrice de E et L une partie libre. Alors il existe G' ⊂ G\L tel que L∪G' soit une base de E.

En particulier :

• (cas G = E) toute famille libre de E peut être complétée en une base de E ;
• (cas L = ∅) de toute famille génératrice de E on peut extraire une base de E.

Fin du théorème

Démonstration

L'ensemble P des parties F de G\L telles que L∪F soit libre est inductif pour l'inclusion : il est même stable par unions de chaînes. Le lemme de Zorn s'applique et donne l'existence d'un élément G' maximal dans P. Alors, la partie libre B = L∪G' est aussi génératrice. En effet, G est génératrice, or tout vecteur de G s'exprime comme une combinaison linéaire de vecteurs de B puisque (par maximalité de G') si ce vecteur n'est pas déjà dans B, il forme avec B une partie liée.

 

Corollaire 1 : existence de bases

• E admet une base.
• Si E admet une partie génératrice finie alors il admet une base finie.

Corollaire 2 : existence de supplémentaires

Tout sous-espace vectoriel $V$ de $E$ admet un supplémentaire $S$ tel que $\forall u\in E,\exists !(v,s)\in (V\times S)\mid u=v+s$.

En d'autres termes, S est le supplémentaire de V ssi tout vecteur de E se décompose de façon unique comme la somme de vecteurs de chacun des sous-espaces V et S.

Dimension

Début d’un théorème

Théorème

Le cardinal de toute partie génératrice de E est supérieur ou égal au cardinal de toute partie libre.

Fin du théorème

Corollaire

Toutes les bases de E ont même cardinal.

Dimension d'un espace vectoriel

Ce cardinal commun est appelé dimension de E, et est noté $\dim _{\mathbb {K} }(E)$.

Par exemple, la dimension de {0} est 0.

Proposition

E et F sont isomorphes si et seulement s'ils ont même dimension.

Par exemple, si E est de dimension finie $n$, alors il est isomorphe à $\mathbb {K} ^{n}$.

Dimension d'une somme

Dimension d'une somme directe

$\dim _{\mathbb {K} }(E\times F)=\dim _{\mathbb {K} }(E\oplus F)=\dim _{\mathbb {K} }(E)+\dim _{\mathbb {K} }(F)$.

Corollaire 1 : Dimension d'un sous-espace

• Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors $\dim _{\mathbb {K} }(F)\leq \dim _{\mathbb {K} }(E)$.
• Si E est de dimension finie et si F est un sous-espace de même dimension, alors F = E.

Corollaire 2 : Formule de Grassmann

Si E et F sont des sous-espaces d'un même espace vectoriel alors

$\dim _{\mathbb {K} }(E+F)+\dim _{\mathbb {K} }(E\cap F)=\dim _{\mathbb {K} }(E)+\dim _{\mathbb {K} }(F)$.