Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Jeu télévisé
Exercice 2-1
Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit satisfaire à deux tests et indépendants.
La probabilité de satisfaire à est . La probabilité de satisfaire à est .
1. Calculer la probabilité qu'un candidat ne satisfasse ni à ni à .
2. Calculer la probabilité qu'un candidat soit sélectionné.
3. Sur n candidats, calculer la probabilité qu'au moins un candidat soit sélectionné.
4. Combien de candidats faut-il prendre pour que la probabilité d’en sélectionner au moins un soit supérieure à 0,99 ?
1. Notre problème se découpe en quatre cas :
- Satisfaire et .
- Satisfaire et pas .
- Satisfaire pas et .
- Satisfaire pas et pas .
La probabilité du premier, , est , soit , car les évènements sont indépendants. La probabilité du deuxième, , est moins celle du premier, soit , soit . De même pour le troisième, , , soit . Et la probabilité du dernier est celle du tout () moins les trois probabilités précédentes, soit , soit , soit . On a donc la probabilité cherchée, qui est .
On peut aussi plus simplement faire que la probabilité d'echouer à est de 1-0.1=0.9, et celle d'echouer à est de 1-0.2=0.8. donc la probabilité d'échouer à et à est de 0.8 × 0.9=0.72
2. Comme dit plus haut, c’est , soit .
3. On cherche la probabilité de l'évènement : « au moins un candidat est sélectionné ». On peut donc calculer la probabilité que 1e candidat réussisse, puis que 2 candidats réussissent, puis 3... jusqu'à la probabilité que n candidats réussissent et additionner tous ces résultats. Mais il s'agirait la d'un travail fastidieux !
Pour simplifier la procédure, on va calculer la probabilité de l'évènement « aucun de n candidats n'a été sélectionne ». Cette probabilité la probabilité qu un candidat ne soit pas sélectionne : à la puissance n. Donc cette probabilité est de La probabilité que l’on recherche est l'évènement complémentaire, donc sa probabilité est de
4. On veut ici que
avec d'où
la solution est donc n le plus petit entier au-dessus du resultat obtenu, soit 228