Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Jeu télévisé

Exercice 2-1

Pour être sélectionné à un jeu télévisé, un candidat doit satisfaire à deux tests $T_1$ et $T_2$ indépendants.

La probabilité de satisfaire à $T_1$ est $p_1=0,1$. La probabilité de satisfaire à $T_2$ est $p_2=0,2$.

1. Calculer la probabilité qu'un candidat ne satisfasse ni à $T_1$ ni à $T_2$.

2. Calculer la probabilité qu'un candidat soit sélectionné.

3. Sur n candidats, calculer la probabilité $q_n$ qu'au moins un candidat soit sélectionné.

4. Combien de candidats faut-il prendre pour que la probabilité d’en sélectionner au moins un soit supérieure à 0,99 ?

Solution

1. Notre problème se découpe en quatre cas :

1. Satisfaire $T_1$ et $T_2$.
2. Satisfaire $T_1$ et pas $T_2$.
3. Satisfaire pas $T_1$ et $T_2$.
4. Satisfaire pas $T_1$ et pas $T_2$.

La probabilité du premier, $Q_1$, est $p_1\ast p_2$, soit $0,02$, car les évènements sont indépendants. La probabilité du deuxième, $Q_2$, est $p_1$ moins celle du premier, soit $p_1-Q_1$, soit $0,08$. De même pour le troisième, $Q_3$, $p_2-Q_1$, soit $0,18$. Et la probabilité du dernier est celle du tout ($1$) moins les trois probabilités précédentes, soit $1-Q_1-Q_2-Q_3$, soit $1-p_1-p_2+Q_1$, soit $1-p_1-p_2+p_1\ast p_2$. On a donc la probabilité cherchée, qui est $0,72$.

On peut aussi plus simplement faire que la probabilité d'échouer à $T_1$ vaut 1 - 0,1 = 0,9, et celle d'échouer à $T_2$ vaut 1 - 0,2 = 0,8. donc la probabilité d'échouer à $T_1$ et à $T_2$ vaut 0,8×0,9 = 0,72

2. Comme dit plus haut, c'est $p_1\ast p_2$, soit 0,02.

3. On cherche la probabilité de l'évènement : « au moins un candidat est sélectionné ». On peut donc calculer la probabilité que premier candidat réussisse, puis que 2 candidats réussissent, puis 3... jusqu'à la probabilité que n candidats réussissent et additionner tous ces résultats. Mais il s'agirait la d'un travail fastidieux !

Pour simplifier la procédure, on va calculer la probabilité de l'évènement « aucun de n candidats n'a été sélectionné ». Cette probabilité est la probabilité qu'un candidat ne soit pas sélectionne : 1 - 0,02 = 0,98, à la puissance n. Donc cette probabilité vaut $0,98^n$. La probabilité que l'on recherche est l'événement complémentaire, donc sa probabilité vaut $1-0,98^n$

4. On veut ici que $1-0,98^n>0,99$

$0,98^n<0,01$

$n\ln (0,98)<\ln (0,01)$ avec $0,98<1$ d'où $n\ln (0,98)<0$

$n>\frac{\ln (0,01)}{\ln (0,98)}\approx 227,95$

la solution est donc n le plus petit entier au-dessus du résultat obtenu, soit 228.