En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Images directes et réciproques Application (mathématiques)/Exercices/Images directes et réciproques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient et deux ensembles, une application, et deux parties de , et et deux parties de . Démontrer les propriétés suivantes (en utilisant éventuellement, pour chacune, les précédentes).
Soient une application non injective et distincts tels que . Posons et . Alors, , tandis que .
Procédons par double inclusion, l'une étant claire d'après ce qui précède. Soit , c'est-à-dire qu'il existe et tels que et . Si est injective, il en résulte que donc et
Exercice 4
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Solution
Soit . Alors, .
Exercice 5
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Solution
Se déduit de l'exercice 4 exactement de la même manière que l'exercice 2 se déduisait du 1.
Exercice 6
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Solution
Se démontre exactement de la même manière que l'exercice 4, en remplaçant par et par .
Exercice 7
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Solution
D'après les exercices 6 et 4, et ont pour intersection et pour réunion . Ils sont donc complémentaires l'un de l'autre dans .
Exercice 8
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Cette inclusion est parfois stricte.
Si est injective alors .
Solution
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Soient une application non injective, distincts tels que , et une partie contenant mais pas . Alors, contient donc n'est pas inclus dans .
Si est injective on a égalité, car la première implication dans la question 1 devient une équivalence.