Équation différentielle/Exercices/Application en démographie

Depuis 1950, la population d'un pays un taux annuel moyen de natalité de 20 enfants pour 1000,

et un taux annuel moyen de mortalité de 15 pour 1000.

De plus, chaque année, en moyenne 100 000 nouveaux arrivants viennent s'installer dans le pays.

On note $P(t)$ la population de ce pays en millions d'habitants, à l'instant t exprimé en années (avec $\scriptstyle {t\geq 1950}$).

1. Justifier que :

$P(t+1)-P(t)={\frac {1}{200}}P(t)+0,1$

2. On suppose que P est dérivable sur $\scriptstyle {[1950,+\infty [}$.

Justifier que l’on puisse approcher $P(t+1)-P(t)$ par $P\ '(t)$.

3. Que devient alors la relation du 1 ?

4. Déterminer alors la fonction P sachant que $P(1950)=30,5$.

5. Estimer la population en 2008, puis en 2050.

Solution

1. Pour 1000 habitants, la population augmente de 5 personnes entre l'année t et t+1, donc chaque année la population, hors nouveaux arrivants, augmente de ${\frac {5}{1000}}P(t)={\frac {1}{200}}P(t)$.

Il faut ajouter les nouveaux arrivants, donc entre l'année t et t+1, la population augmente de ${\frac {1}{200}}P(t)+0,1$, doù la relation.

2. On rappelle que l'approximation affine d'une fonction dérivable $f$ au voisinage d'un point a est de la forme : $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\varepsilon (x)$ avec : $\lim _{x\to a}\varepsilon (x)=0$.

On écrit alors, pour $x$ dans un voisinage de $a$ : $f(x)\simeq f(a)+f\,'(a)(x-a)$.

En remplaçant x par t et a par t+1, on obtient la relation $P(t)\simeq P(t+1)+P'(t)(t-t-1)$.

On trouve finalement $P(t+1)-P(t)\simeq P'(t)$.

3. La relation devient alors : $P'(t)={\frac {1}{200}}P(t)+0,1$.

4.La solution de cette équation est de la forme : $P(t)=ke^{\frac {t}{200}}-20$.

Or $P(1950)=30.5$ ,on trouve alors $k=0.00294$ et $P(t)=0.00294e^{\frac {t}{200}}-20$.

5. Pour déterminer la population en 2008, on calcule $P(2008)=47.4$

Pour déterminer la population en 2050, on calcule $P(2050)=63.2$

 

Remarque

Ce problème peut également être modélisé avec une suite récurrente.