Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Exponentielle et équation différentielle

Théorème et définition

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

• $\exp(0)=1$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.

L'existence, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.

L'unicité sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera de plus que pour tout réel x, exp(x)exp(–x) = 1. En particulier, exp(x) ≠ 0.

Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche « e^x ».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe « seconde » ou « shift » suivi de la touche ln.

Exemples

A la calculatrice, donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ :

$\exp(7)$ =

$\exp(-3)$ =

$\exp(\pi +1)$ =

Cas général

Début d’un théorème

Théorème

• Pour tout réel $k$, la fonction $x\mapsto \exp(kx)$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$.
• Cette fonction vérifie : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f(-x)=1$.

Fin du théorème

Démonstration

• La fonction $f_{0}:x\mapsto \exp(kx)$ vérifie évidemment $f'_{0}=kf_{0}$ et $f_{0}(0)=1$.
• Réciproquement, soit $f$ une fonction telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$. Posons $g(x)=f(x)f_{0}(-x)$. Alors, d’après les règles usuelles de dérivation,
  $\forall x\in \mathbb {R} \quad g'(x)=f'(x)f_{0}(-x)-f(x)f'_{0}(-x)=\left(kf(x)\right)f_{0}(-x)-f(x)\left(kf_{0}(-x)\right)=0$
  donc $g$ est constante, égale à sa valeur en $0$ c'est-à-dire à $1$, ce qui prouve que
  $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f_{0}(-x)=1$.
• En particulier, $\forall x\in \mathbb {R} \quad f_{0}(x)f_{0}(-x)=1$.
• On déduit de ces deux points que $f=f_{0}$.