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Exercice : Divers
Intégration en mathématiques/Exercices/Divers », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour
et
entiers naturels, on considère l'intégrale :
.
1° Calculer
:
- a) en utilisant le changement de variable
et la formule du binôme ;
- b) en établissant, par intégration par parties, une relation de récurrence entre
et
, puis en déduisant
du calcul de
.
2° Déduire de ce qui précède que :
.
Solution
-
.
- Si
,
.
Or
.
Donc
.
- Immédiat.
Soit :
.
Prouver que, pour tout
:
.
Solution
(dans chacun des deux cas
ou
, communs à deux expressions, les deux fonctions de
coïncident).
Cette fonction
est décroissante sur
et croissante sur
.
On considère, dans un repère orthonormal, la courbe
d'équation :
.
Soit
un nombre strictement positif. On désigne par
et
les deux points de la courbe
d'abscisses respectives
et
, et
et
leurs projetés orthogonaux sur l’axe des abscisses.
1° Calculer l’aire
de la surface limitée par l’axe des abscisses, les droites
et
et la courbe
.
2° On considère la fonction
définie par :
![{\displaystyle {\begin{cases}S(x)=2-2\ln x,\quad {\text{pour }}0<x\leqslant \mathrm {e} \\S(x)=2\ln x-2,\quad {\text{pour }}x\geqslant \mathrm {e} .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8254a08ca3e101a88ded26f582e9876040dea7)
- Calculer la dérivée de la fonction
pour ![{\displaystyle x\neq \mathrm {e} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee43d24e54ebe4502275e73362c480754ddf7998)
- Étudier la variation de
et construire son graphique.
- Préciser les demi-tangentes à ce graphique au point d'abscisse
.
3° Calculer les valeurs de
pour lesquelles l'aire
est égale à
.
4° Étudier les limites à droite et à gauche en
de la fonction :
.
Solution
.
si
et
si
donc
est décroissante sur
et croissante sur
. En
et en
, elle tend vers
.
Le graphique de S est donné par ;
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Courbe_bipartie_1.png/500px-Courbe_bipartie_1.png)
Les deux demi-tangentes au point
ont pour équations
et
.
ou
.
- Quand
,
et quand
,
.
On considère la fonction
définie par :
.
1° Étudier son ensemble de définition, démontrer qu'elle est périodique de période
et étudier sa variation dans l'intervalle
.
- Tracer la courbe représentative de
dans un repère orthonormal.
2° Calculer les primitives de
. On pourra mettre
sous la forme :
![{\displaystyle f(x)=A+B\left({\frac {-\sin x+\cos x}{\cos x+\sin x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0f32fdce962a95400bf86f8fb68d269866c977)
- où
et
sont des constantes à préciser.
- En déduire la valeur de l’aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations
,
.
Soit la fonction
définie par :
.
1° Étudier la variation de
et la représenter graphiquement par rapport à un repère orthonormal
. Soit
, la courbe représentative.
2° Écrire l'équation de la tangente à
au point
ayant pour abscisse le nombre
.
3° Vérifier que la fonction
définie par :
![{\displaystyle F(x)=x\ln \left(x^{2}\right)-2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80bd0b98c8114fd9eaa216a7559c8026717853f)
- est une primitive de la fonction
dans chacun des intervalles où cette dernière est définie.
4° Évaluer l’aire du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe
et la tangente à
au point
.