Puissances/Introduction

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Les puissances sont très importantes en mathématiques mais aussi en physique-chimie puisqu'elles permettent d'énoncer des valeurs très grandes et ainsi d’éviter d'écrire des nombres commençant ou se terminant par une multitude de zéros...

Puissances d'un nombre relatif

Exposant positif

Définition

Si a est un nombre relatif et n un entier supérieur ou égal à 1, on note :

${\begin{matrix}\\a^{n}=\end{matrix}}{\begin{matrix}nfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}$

Le nombre n est appelé exposant de a.

On pose pour tout nombre relatif a non nul : $a^{0}=1$

Cas particuliers

• Si a est un nombre relatif :

$a^{4}=a\times a\times a\times a$ se lit "a exposant 4" ou "a à la puissance 4"

$a^{2}=a\times a$ se lit "a au carré"

$a^{3}=a\times a\times a$ se lit "a au cube"

$a^{1}=a$

• Si l'exposant est nul :

Si a est non nul et n > 1, on passe de $a^{n}$ à $a^{n-1}$ en divisant simplement par a. Si on applique cela avec n = 1, on obtient $a^{0}=a/a=1$. Mais cela ne marche que si a est non nul. En effet, si a = 0, le résultat de la division est indéterminé.

Exemples

Calculer $2^{4}\ ;\ 3^{3}\ ;\ 1^{2}\ ;\ 0^{1}\ ;\ 2^{0}$

Solution

• $2^{4}=2\times 2\times 2\times 2=16$
• $3^{3}=3\times 3\times 3=27$
• $1^{2}=1\times 1=1$
• $0^{1}=0$
• $2^{0}=1$

 

Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

Exposant négatif

Définition

Si a est un nombre relatif non nul et n un entier supérieur ou égal à 0, on note :

L'inverse de la puissance n-ième de a est noté :

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

En particulier : $a^{-1}={\frac {1}{a}}$ (l'inverse du nombre a ).

Exemples

• ${3^{-4}}={\frac {1}{3^{4}}}={\frac {1}{3\times 3\times 3\times 3}}={\frac {1}{81}}$
• Calculer $2^{-3}\ ;\ \ 1^{-2}$

Solution

• $2^{-3}={\frac {1}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}=0,125$
• $1^{-2}={\frac {1}{1^{2}}}=1$

 

Exercices

Faites des exercices de calcul des puissances.

Puissances et opérations

Remarques :

• Dans toutes les formules suivantes, a et b sont des nombres relatifs, m et n des entiers relatifs.
• Il faut supposer a ou b non nuls si l’on les met à un exposant négatif, ou bien si l’on divise par ces nombres.

Puissances et multiplication

Règle 1

Définition

$a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}$

Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance :

• $3^{5}\times 3^{7}$
• $3^{5}\times 3^{-7}$

Solution

• $3^{5}\times 3^{7}=3^{5+7}=3^{12}$
• $3^{5}\times 3^{-7}=3^{5+(-7)}=3^{-2}$

 

Règle 2

Définition

$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}$

Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance : $3^{5}\times 4^{5}$

Solution

$3^{5}\times 4^{5}=(3\times 4)^{5}=12^{5}$

 

Exercices

Faites des exercices pour appliquer ces règles.

Puissances et divisions

Règle 3

Définition

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

Exercice

Mettre sous la forme d'une seule puissance :

• ${\frac {3^{7}}{3^{5}}}$
• ${\frac {3^{5}}{3^{7}}}$
• ${\frac {3^{5}}{3^{-7}}}$

Solution

• ${\frac {3^{7}}{3^{5}}}=3^{7-5}=3^{2}$
• ${\frac {3^{5}}{3^{7}}}=3^{5-7}=3^{-2}$
• ${\frac {3^{5}}{3^{-7}}}=3^{5-(-7)}=3^{5+7}=3^{12}$

 

Règle 4

Définition

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance : ${\frac {3^{5}}{4^{5}}}$

Solution

${\frac {3^{5}}{4^{5}}}=\left({\frac {3}{4}}\right)^{5}=0,75^{5}$

 

Exercices

Faites des exercices pour appliquer ces règles.

Puissance de puissance

Règle 5

Définition

$(a^{m})^{n}=a^{m\times {n}}$

Exemple

Mettre sous la forme d'une seule puissance :

• $(3^{5})^{2}$
• $3^{5^{2}}$

Solution

• $(3^{5})^{2}=3^{5\times 2}=3^{10}$
• $3^{5^{2}}=3^{25}$

 

Exercices

Faites des exercices pour appliquer cette règle.

Lien interprojet

Si vous recherchez un exposé plus complet, voyez l’article de Wikipédia : Puissance d'un nombre.