Puissances/Démonstrations

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Nous allons voir dans ce chapitre les démonstrations des propriétés vues dans le chapitre précédent.

Démonstrations

Les démonstrations des règles 1 à 5 sur les puissances peuvent se faire avec un raisonnement par récurrence.

Règle 1

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

Prérequis : pour k entier relatif, $a^{k+1}=a^k\times a$

• Si k > 0, $a^{k+1}=a^k\times a$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant positif.
• Si k = 0, $a^{k+1}=a^1=a$ et $a^k\times a=a^0\times a=1\times a=a$ d’après la définition d’une puissance d'exposant nul.
• Si k = -1, $a^{k+1}=a^0=1$ et $a^k\times a=a^{-1}\times a=\frac{1}{a}\times a=1$
• Si k < -1, $a^{k+1}=a^k\times a$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant négatif.

Démonstration pour a non nul et m un entier relatif

Soit la proposition $P_n:a^m\times a^n=a^{m+n}$

• Pour n = 0, on a d’un côté

$a^m\times a^n=a^m\times 1=a^m$ et de l'autre

$a^{m+n}=a^{m+0}=a^m$

La propriété P_n est donc vérifiée pour n = 0, ou pour faire plus court, P₀ est vraie.

• Supposons que P_n soit vraie pour n supérieur ou égal à zéro. Voyons si P_n+1 est vraie.

En partant d’un côté :

$a^m\times a^{n+1}=a^m\times (a^n\times a)$ d’après la définition d’un puissance entière, puis

$a^m\times (a^n\times a)=(a^m\times a^n)\times a$ par associativité de la multiplication,

$(a^m\times a^n)\times a=a^{m+n}\times a$ car on suppose que P_n est vraie

$a^{m+n}\times a=a^{m+n+1}$ d’après la définition d’un puissance entière.

On obtient donc que $a^m\times a^{n+1}=a^{m+n+1}$

C'est-à-dire que P_n+1 est vraie lorsque P_n est vraie.

On a donc, pour n supérieur ou égal à zéro, l'implication $P_n\Rightarrow P_{n+1}$.

• Par récurrence sur n, on peut conclure que pour tout entier n positif, P_n est vraie.

On peut faire un raisonnement semblable pour les puissances négatives. Montrant que $P_n\Rightarrow P_{n-1}$, on conclut que la propriété est vraie aussi pour n négatif.

Démonstration pour a = 0

Si les exposants sont strictement positifs, c'est-à-dire que m > 0 et n > 0, alors on a :

$a^m\times a^n=0\times 0$ et

$a^{m+n}=0$

Dans ce cas là (exposants strictement positifs), la règle est aussi vraie. Sinon, les résultats sont indéterminés.