Puissances/Démonstrations

**Démonstrations**
Leçon : Puissances

Chapitre n^o 2
Chap. préc. :	Introduction
Chap. suiv. :	Les puissances de 10 et leur usage scientifique

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Puissances/Démonstrations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Nous allons voir dans ce chapitre les démonstrations des propriétés vues dans le chapitre précédent.

Démonstrations

Les démonstrations des règles 1 à 5 sur les puissances peuvent se faire avec un raisonnement par récurrence.

Règle 1

$a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}$

Prérequis : pour k entier relatif, $a^{k+1}=a^{k}\times a$

Si k > 0, $a^{k+1}=a^{k}\times a$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant positif.
Si k = 0, $a^{k+1}=a^{1}=a$ et $a^{k}\times a=a^{0}\times a=1\times a=a$ d’après la définition d’une puissance d'exposant nul.
Si k = -1, $a^{k+1}=a^{0}=1$ et $a^{k}\times a=a^{-1}\times a={\frac {1}{a}}\times a=1$
Si k < -1, $a^{k+1}=a^{k}\times a$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant négatif.

Démonstration pour a non nul et m un entier relatif

Soit la proposition $P_{n}:a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}$

Pour n = 0, on a d’un côté

$a^{m}\times {a}^{n}=a^{m}\times {1}=a^{m}$ et de l'autre

$a^{m+n}=a^{m+0}=a^{m}$

La propriété P_n est donc vérifiée pour n = 0, ou pour faire plus court, P₀ est vraie.

Supposons que P_n soit vraie pour n supérieur ou égal à zéro. Voyons si P_n+1 est vraie.

En partant d’un côté :

$a^{m}\times {a}^{n+1}=a^{m}\times ({a}^{n}\times {a})$ d’après la définition d’un puissance entière, puis

$a^{m}\times ({a}^{n}\times {a})=(a^{m}\times {a}^{n})\times {a}$ par associativité de la multiplication,

$(a^{m}\times {a}^{n})\times {a}=a^{m+n}\times {a}$ car on suppose que P_n est vraie

$a^{m+n}\times {a}=a^{m+n+1}$ d’après la définition d’un puissance entière.

On obtient donc que $a^{m}\times {a}^{n+1}=a^{m+n+1}$

C'est-à-dire que P_n+1 est vraie lorsque P_n est vraie.

On a donc, pour n supérieur ou égal à zéro, l'implication $P_{n}\Rightarrow P_{n+1}$ .

Par récurrence sur n, on peut conclure que pour tout entier n positif, P_n est vraie.

On peut faire un raisonnement semblable pour les puissances négatives. Montrant que $P_{n}\Rightarrow P_{n-1}$ , on conclut que la propriété est vraie aussi pour n négatif.