Leçons de niveau 9

Puissances/Démonstrations

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Démonstrations
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Chapitre no 2
Leçon : Puissances
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Les puissances de 10 et leur usage scientifique
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Puissances/Démonstrations
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Nous allons voir dans ce chapitre les démonstrations des propriétés vues dans le chapitre précédent.

Démonstrations[modifier | modifier le wikicode]

Les démonstrations des règles 1 à 5 sur les puissances peuvent se faire avec un raisonnement par récurrence.

Règle 1[modifier | modifier le wikicode]

Prérequis : pour k entier relatif,

  • Si k > 0, d’après la définition d’une puissance entière d'exposant positif.
  • Si k = 0, et d’après la définition d’une puissance d'exposant nul.
  • Si k = -1, et
  • Si k < -1, d’après la définition d’une puissance entière d'exposant négatif.

Démonstration pour a non nul et m un entier relatif

Soit la proposition

  • Pour n = 0, on a d’un côté

et de l'autre

La propriété Pn est donc vérifiée pour n = 0, ou pour faire plus court, P₀ est vraie.

  • Supposons que Pn soit vraie pour n supérieur ou égal à zéro. Voyons si Pn+1 est vraie.

En partant d’un côté :

d’après la définition d’un puissance entière, puis

par associativité de la multiplication,

car on suppose que Pn est vraie

d’après la définition d’un puissance entière.

On obtient donc que

C'est-à-dire que Pn+1 est vraie lorsque Pn est vraie.

On a donc, pour n supérieur ou égal à zéro, l'implication .

  • Par récurrence sur n, on peut conclure que pour tout entier n positif, Pn est vraie.

On peut faire un raisonnement semblable pour les puissances négatives. Montrant que , on conclut que la propriété est vraie aussi pour n négatif.

Démonstration pour a = 0

Si les exposants sont strictement positifs, c'est-à-dire que m > 0 et n > 0, alors on a :

et

Dans ce cas là (exposants strictement positifs), la règle est aussi vraie. Sinon, les résultats sont indéterminés.