Théorie des groupes/Exercices/Groupes commutatifs finis, 2

Problème 1

Soient G et H deux groupes commutatifs finis. Si, pour tout nombre naturel k non nul, G et H ont le même nombre d'éléments d'ordre k, G et H sont isomorphes.

Solution

De façon générale, si K est un groupe et k un nombre naturel non nul, le nombre des éléments x de K tels que x^k = 1, autrement dit le nombre des éléments de K dont l’ordre divise k, est

$\sum _{d\vert k}n(K,d),$

où d parcourt les diviseurs naturels de k et où n(K, d) désigne le nombre d'éléments d'ordre d de K. En faisant K = G puis K = H et en notant que n(G, d) = n(H, d) pour tout d, nous trouvons que
(1) pour tout nombre naturel k, le nombre des éléments x de G tels que kx = 0 est égal au nombre des éléments y de H tels que ky = 0.
(Autrement dit, le nombre des éléments dont l’ordre divise k est le même dans G et dans H.)
Soient $a_{1}\vert \ldots \vert a_{r}$ les facteurs invariants de G et $b_{1}\vert \ldots \vert b_{s}$ ceux de H.
Donc G est somme directe (interne)

$G=G_{1}\oplus \ldots \oplus G_{r},$

où, pour chaque i (1 ≤ i ≤ r), G_i est cyclique d'ordre a_i > 1.
De même, H est somme directe (interne)

$H=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{s},$

où, pour chaque j (1 ≤ j ≤ s), G_j est cyclique d'ordre b_j > 1.
Par exemple parce que

$(x_{1},\ldots x_{r})\mapsto x_{1}+\ldots +x_{r}$

est un isomorphisme de la somme directe externe des G_i sur G, un élément $x=x_{1}+\ldots +x_{r}$ de G satisfait à la condition kx = 0 si et seulement si, pour tout i, kx_i = 0. Puisque G est cyclique d'ordre a_i, le nombre des éléments z de G_i tels que kz = 0 est pgcd(k, a_i). (Voir un exercice de la série Groupes monogènes, ordre d'un élément.) Donc (toujours en vertu de l'isomorphisme de la somme directe externe des G_i sur G), le nombre des éléments x de G tels que kx = 0 est

$\mathrm {pgcd} (k,a_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,a_{r}).$

De même, le nombre des éléments y de H tels que ky = 0 est

$\mathrm {pgcd} (k,b_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,b_{s}).$

Notre résultat (1) peut donc s'écrire

$(2)\qquad \mathrm {pgcd} (k,a_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,a_{r})=\mathrm {pgcd} (k,b_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (k,b_{s}).$

Prouvons, de façon générale, que si a₁, ... , a_r, b₁, ... , b_s sont des nombres naturels > 1 tels que

$a_{1}\vert \ldots \vert a_{r}$ et

$b_{1}\vert \ldots \vert b_{s},$

si la relation (2) est satisfaite pour tout nombre naturel k non nul, alors
(3) r = s et a_i = b_i pour tout i (1 ≤ i ≤ r).
Nous allons raisonner par récurrence sur max(r, s). Si max(r, s) = 0, alors r et s sont tous deux nuls et la thèse est vraie. Supposons maintenant que max(r, s) ≥ 1 et que la thèse (3) est vraie pour tous r', s' tels que max (r', s') < max (r, s) (hypothèse de récurrence).
Si, par exemple, r est nul, alors, d’après l'hypothèse max(r, s) ≥ 1, s n’est pas nul, donc nous pouvons parler de b₁. En faisant k = b₁ dans (2), nous trouvons

$\ 1=b_{1}\ldots b_{s}.$

Puisque les b_j sont tous > 1, ceci entraîne s = 0, contradiction. Donc r et s sont tous deux ≥ 1, donc nous pouvons parler de a₁ et de b₁. Si par exemple s ≤ r, faisons k = a₁ dans (2). Puisque a₁ divise tous les a_i, nous trouvons

$a_{1}^{r}=\mathrm {pgcd} (a_{1},b_{1})\ldots \mathrm {pgcd} (a_{1},b_{s}).$

Puisque, pour chaque j, pgcd(a₁, b_j) divise a₁ et que s ≤ r, il faut clairement que s soit égal à r et que, pour chaque j, pgcd(a₁, b_j) = a₁, autrement dit a₁ divise tous les b_j et, en particulier, a₁ divise b₁. En faisant maintenant k = b₁ dans (2), nous trouvons de même que b₁ divise a₁, d'où finalement a₁ = b₁. (Nous avons supposé s ≤ r, mais il est clair que si r ≤ s, on obtiendra le même résultat en faisant d’abord k = b₁ puis k = a₁.)
Nous pouvons donc diviser les deux membres de (2) par pgcd(k, a₁) = pgcd(k, b₁). Nous trouvons que, pour tout nombre naturel k non nul,

$\qquad \mathrm {pgcd} (k,a_{2})\ldots \mathrm {pgcd} (k,a_{r})=\mathrm {pgcd} (k,b_{2})\ldots \mathrm {pgcd} (k,b_{s}).$

Par hypothèse de récurrence, ceci entraîne a_i = b_i pour tout i ≥ 2, d'où notre thèse (3). Dès lors, compte tenu de (2), G et H ont la même suite de facteurs invariants et sont donc isomorphes.