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Fonction dérivée : Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :
- On applique d’abord une fonction affine
- On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ
Le schéma étudié est donc le suivant :
qui peut se ramener à l'étude de
Début d’un théorème
Fin du théorème
|
Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.
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Exemples
Exemple 1
Soit g la fonction définie sur
par
. Dériver g
Début d’un principe
Fin du principe
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
![{\displaystyle ax+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8507be931cbdb80c0b7339082b03eb0299710ae8)
- Dans notre cas,
![{\displaystyle \color {blue}ax+b=3x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878b59e108996c0e9cd73b962a03fa8feb1a3536)
- Pour tout
, donc ƒ est dérivable sur
et, pour tout ![{\displaystyle X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=2X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c92bbc69ef98917602953fca4c2a12bec7ed97a)
- En particulier, ƒ est dérivable en
donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
:
Finalement, pour tout
|
Exemple 2
Soit g la fonction définie sur
par
. Dériver g
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
![{\displaystyle ax+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8507be931cbdb80c0b7339082b03eb0299710ae8)
- Dans notre cas,
![{\displaystyle ax+b=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab26a1e6f052fab2cc133bfa243cf1cf34fc3c8)
- Pour tout
, donc ƒ est dérivable sur
et, pour tout ![{\displaystyle X\in \cdots ,~f'(X)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef854715e1a8eba3b3927b41faedec30b462f17)
- En particulier, ƒ est dérivable en
donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0718ada190d17edc3f472cceb82ec124017783b4)
Solution
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
![{\displaystyle ax+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8507be931cbdb80c0b7339082b03eb0299710ae8)
- Dans notre cas,
![{\displaystyle \color {blue}ax+b=-4x+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb26238dd6183ba86674538590c2184472c0fb54)
- Pour tout
, donc ƒ est dérivable sur
et, pour tout ![{\displaystyle X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=3X^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a0a0930385f58d075bba339475f5e87a412177)
- En particulier, ƒ est dérivable en
donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
:
Finalement, pour tout
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Exemple 3
- Soit g la fonction définie sur
par
. Dériver g
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
![{\displaystyle ax+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8507be931cbdb80c0b7339082b03eb0299710ae8)
- Dans notre cas,
![{\displaystyle ax+b=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab26a1e6f052fab2cc133bfa243cf1cf34fc3c8)
- Pour tout
, donc ƒ est dérivable sur
et, pour tout ![{\displaystyle X\in \cdots ,~f'(X)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef854715e1a8eba3b3927b41faedec30b462f17)
- En particulier, ƒ est dérivable en
donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0718ada190d17edc3f472cceb82ec124017783b4)
Solution
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
![{\displaystyle ax+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8507be931cbdb80c0b7339082b03eb0299710ae8)
- Dans notre cas,
![{\displaystyle \color {blue}ax+b={\frac {1}{2}}x+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d357f9ded01e422d970194d196da3fee6e8abb7)
- Pour tout
, donc ƒ est dérivable sur
et, pour tout ![{\displaystyle X\in \mathbb {R} ,~\color {magenta}f'(X)=4X^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2523ee920e0b2ddf06d966da7a34993c17cd47)
- En particulier, ƒ est dérivable en
donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
:
Finalement, pour tout
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Exemple 4
- Soit g la fonction définie sur un domaine
par
. Dériver g.
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Voici notre premier exemple de fonction qui n’est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.
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- On commence comme d'habitude par identifier les éléments
et ƒ
Le schéma est
et se ramène à
Solution
Le schéma est
et se ramène à
La fonction ƒ est définie par
sur le domaine
. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.
En déduire pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g n’est pas définie. En déduire le domaine
Vérifier la dérivabilité.
Solution
La fonction ƒ est définie par
sur le domaine
Soit
On en déduit que la fonction g est définie sur le domaine
|
ƒ est dérivable sur
, donc g est dérivable sur
.
Par ailleurs, pour tout
- Enfin, on applique la formule du théorème :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0718ada190d17edc3f472cceb82ec124017783b4)
Solution
- Pour tout
:
Pour tout
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Exemple 5
Soit g la fonction définie sur un domaine
par
Le schéma est
et se ramène à
Solution
Le schéma est
et se ramène à
La fonction ƒ est définie par
sur le domaine
. Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.
Solution
La fonction ƒ est définie par
sur le domaine
Étudier le signe de l’expression
. En déduire le domaine
Solution
Soit
On en déduit que la fonction g est définie sur le domaine
|
Vérifier la dérivabilité.
Solution
ƒ est n'est dérivable que sur
g n'est donc dérivable que si
, c'est-à-dire si
Donc g est dérivable sur
|
Par ailleurs, pour tout
- Enfin, on applique la formule du théorème :
- Pour tout
![{\displaystyle x\in \cdots ,~g'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0718ada190d17edc3f472cceb82ec124017783b4)
Solution
- Pour tout
:
Donc, pour tout
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