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Exercice : Calculs indirects
Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 16-1
Soit
et
les intégrales suivantes :
.
Calculer simultanément
et
.
Solution
![{\displaystyle I+J=\int _{0}^{x}\mathrm {d} t=x\quad {\text{et}}\quad I-J=\int _{0}^{x}\cos 2t\,\mathrm {d} t={\frac {\sin 2x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74db26814b18f55f936849f7c09f669b166044ba)
donc
.
Exercice 16-2
Calculer simultanément les intégrales suivantes :
![{\displaystyle I=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c12360d104a4994115097d0755821ead185f69f)
.
Exercice 16-3
On considère les intégrales :
![{\displaystyle A=\int _{-\pi }^{\pi }\cos px\cos qx\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6997d3ceda495f025cb50c7e01c383aa97c56bce)
![{\displaystyle B=\int _{-\pi }^{\pi }\sin px\sin qx\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8941b35d1a97a2a57c07ef33089844dda4a548d8)
où
et
sont des entiers naturels non nuls.
Calculer
et
. En déduire
et
.
Exercice 16-4
Soit
une fonction dérivable.
1° On pose
. Calculer
.
2° Calculer :
.
Exercice 16-5
On considère les deux intégrales suivantes :
.
1° À l'aide de la formule d'intégration par parties appliquée à
et à
, établir deux relations entre
et
. En déduire les valeurs de
et de
.
2° On pose :
.
- Calculer
et
. En déduire les valeurs de de
et de
.
Exercice 16-6
Calculer :
.
En déduire, par une intégration par parties :
.
Solution
.
.
Exercice 16-7
1° Soit
une fonction dérivable sur un intervalle
. Donner, en fonction de
et de
, l'expression de la dérivée de la fonction
définie sur
par
.
2° Démontrer qu'il existe un couple
de réels tel que, quel que soit
, on ait :
.
- En déduire qu'il existe une fonction
telle que :
.
3° Quel est l'ensemble des primitives de la fonction
lorsque
?