Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Résolution approchée d'équations

Exercice 12-1

1°  Développer l'expression :

$(x^{2}-x+1)^{2}$

2°  Résoudre par dichotomie à 0,01 près l'équation :

$2x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+10x-10=0$

Solution

1°

En développant, on obtient :

$(x^{2}-x+1)^{2}=x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1$

2°

Posons :

$f(x)=2x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+10x-10$

Nous allons sommairement étudier cette fonction pour localiser les racines. Commençons par calculer la dérivée :

$f'(x)=10x^{4}-20x^{3}+30x^{2}-20x+10=10(x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1)$

et nous reconnaissons l'expression obtenue à la première question. Nous avons donc :

$f'(x)=10(x^{2}-x+1)^{2}$

Nous voyons que la dérivée est positive et, par conséquent, la fonction f est croissante.

Comme :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }2x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+10x-10=\lim _{x\to +\infty }2x^{5}=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }2x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+10x-10=\lim _{x\to -\infty }2x^{5}=-\infty$

nous en déduisons que la fonction f est croissante de $-\infty$ à $+\infty$. Son tracé va donc couper l'axe des abscisses une seule fois et par conséquent l'équation :

$2x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+10x-10=0$

n'aura qu'une seule solution réelle.

Pour localiser approximativement la solution, nous voyons rapidement que f(0) = -10. La croissance étant rapide (fonction du cinquième degré), nous pouvons nous attendre à ce que la solution ne soit pas loin de 0. Essayons f(4), nous trouvons 1278. Nous pouvons appliquer le théorème.

f est strictement croissante sur [0;4]. Comme f est continue, elle réalise une bijection de [0;4] vers [f(0);f(4)] = [-10; 1278]. Comme 0 appartient à [-10; 1278], 0 admet un antécédent par f qui est racine de l'équation que l'on cherche à résoudre.

Affinons la recherche par dichotomie et calculons f(2) = 34. Nous voyons que f(2) est positif donc la racine est dans [0; 2].

Affinons encore la recherche par dichotomie et calculons f(1) = -3. Nous voyons que f(1) est négatif donc la racine est dans [1; 2]

Et ainsi de suite, nous présentons les résultats des calculs successifs dans un tableau en mettant successivement les résultats négatifs à gauche et les résultats positifs à droite :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&1&&1,2&&1,23&&&&&&&&&&&&&&1,24&&1,25&&1,3&&1,4&&2&&4\\&&&\\\hline f'(x)&-10&&-3&&-0,51&&-0,034&&&&&&&&&&&&&&0,13&&0,3&&1,22&&3,39&&34&&1278\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la solution est dans l'intervalle [1,23; 1,24]. Elle semble plus proche de 1,23 car f(1,23) est plus proche de 0 que f(1,24).

Nous conclurons donc que la solution de l'équation est 1,23 à 0,01 près.

 

Exercice 12-2

Soit f la fonction définie par :

$f(x)={\frac {{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{2}}}$

Dans l'exercice 4-4, nous avons soupçonné que cette fonction avait un point d'inflexion dont l'abscisse est comprise entre 0 et 1.

Calculer cette abscisse à 0,001 près.

Solution

Dans l'exercice 4-4, nous avions calculé la dérivée. Nous reproduisons ce calcul ci-dessous :

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}(x+1)+{\sqrt {x}}\right)(x-1)^{2}-2(x-1){\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{4}}}={\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}(x+1)+{\sqrt {x}}\right)(x-1)-2{\sqrt {x}}(x+1)}{(x-1)^{3}}}\\&={\frac {(x+1+2x)(x-1)-4x(x+1)}{2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}}}={\frac {-x^{2}-6x-1}{2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}}}\\&={\frac {-(x^{2}+6x+1)}{2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}}}\end{aligned}}$

Les points d'inflexion étant des points dont l'abscisse annule la dérivée seconde, nous devons re-dériver f'. Ce qui donne :

${\begin{aligned}f''(x)&={\frac {-(2x+6)\times 2{\sqrt {x}}(x-1)^{3}+(x^{2}+6x+1)\left(2{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}(x-1)^{3}+2{\sqrt {x}}\times 3(x-1)^{2}\right)}{4x(x-1)^{6}}}\\&={\frac {-(2x+6)\times 2x(x-1)^{3}+(x^{2}+6x+1)\left((x-1)^{3}+6x(x-1)^{2}\right)}{4x{\sqrt {x}}(x-1)^{6}}}\\&={\frac {(x-1)^{2}\left[-(2x+6)\times 2x(x-1)+(x^{2}+6x+1)\left(x-1+6x\right)\right]}{4x{\sqrt {x}}(x-1)^{6}}}\\&={\frac {(x-1)^{2}(3x^{3}+33x^{2}+13x-1)}{4x{\sqrt {x}}(x-1)^{6}}}\\&={\frac {3x^{3}+33x^{2}+13x-1}{4x{\sqrt {x}}(x-1)^{4}}}\end{aligned}}$

Et nous voyons que nous devons rechercher les solutions de l'équation :

$3x^{3}+33x^{2}+13x-1=0$

entre 0 et 1.

Posons donc :

$g(x)=3x^{3}+33x^{2}+13x-1$

Nous avons :

$g'(x)=9x^{2}+66x+13$

Dont les racines sont :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {-11+6{\sqrt {3}}}{3}}\simeq -7,13\\x_{2}={\frac {-11-6{\sqrt {3}}}{3}}\simeq -0,20\end{cases}}$

Comme un trinôme ax² + bx + c est du signe de a en dehors des racines, nous en déduisons que la fonction g est croissante sur [0; 1]

On a de plus :

${\begin{cases}g(0)=-1\\g(1)=48\end{cases}}$

g étant croissante et continue sur [0; 1], elle réalisera une bijection de [0; 1] vers [-1; 48]. Comme 0 appartient à [-1; 48]; 0 admet un antécédent α par g qui est racine de l'équation 3x³ + 33x² + 13x - 1 = 0 sur [0; 1].

Nous calculerons α par dichotomie.

Nous voyons que g(0) est plus proche de 0 que g(1). Donc, par commodité, nous calculerons g(0,4) au lieu de g(0,5).

Et ainsi de suite, nous placerons successivement toutes les valeurs obtenues dans un tableau en mettant à gauche, les valeurs négatives et à droite les valeurs positives (nous aurions fait l'inverse si la fonction avait été décroissante). Nous obtenons :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&0,05&&0,06&&0,065&&&&&&&&&&&&0,066&&0,067&&0,07&&0,1&&0,2&&0,4&&1\\&&&\\\hline g(x)&-1&&-0,27&&-0,10&&-0,015&&&&&&&&&&&&0,0026&&0,020&&0,073&&0,63&&2,94&&9,67&&48\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la racine appartient à l'intervalle [0,065; 0,066] qui a une largeur de 0,001. Comme g(0,066) est plus proche de 0 que g(0,065), nous choisirons pour α la valeur 0,066. Nous conclurons donc en disant que la fonction f a un point d'inflexion d'abscisse 0,066 à 0,001 près.

 

Exercice 12-3

Considérons la figure ci-contre. Un homme est en mer (position M). Il cherche à rejoindre le point N sur la terre ferme. La côte est représentée sur la figure par la droite (mn).

L'homme se déplace à 2 km/h en mer, et à 4 km/h sur la terre ferme. Déterminez le point P où il doit aborder pour que le temps du parcours soit minimum.

Solution

Nous poserons x la distance mP. Nous avons alors :

$MP={\sqrt {x^{2}+400^{2}}}={\sqrt {x^{2}+160000}}$

$PN={\sqrt {Pn^{2}+600^{2}}}={\sqrt {(1000-x)^{2}+600^{2}}}={\sqrt {1000^{2}-2000x+x^{2}+600^{2}}}={\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}$

Soit f la fonction qui à x associe le temps nécessaire pour aller du point M au point N en passant par le point P. Nous avons :

$f(x)={\frac {MP}{2}}+{\frac {PN}{4}}={\frac {\sqrt {x^{2}+160000}}{2}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}{4}}$

Nous devons donc trouver la valeur de x qui minimise la fonction f définie par :

$f(x)={\frac {\sqrt {x^{2}+160000}}{2}}+{\frac {\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}{4}}$

La dérivée de cette fonction est :

$f'(x)={\frac {2x}{2\times 2{\sqrt {x^{2}+160000}}}}+{\frac {2x-2000}{4\times 2{\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}}}={\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+160000}}}}+{\frac {x-1000}{4{\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}}}={\frac {2x{\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}+(x-1000){\sqrt {x^{2}+160000}}}{4{\sqrt {x^{2}+160000}}{\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}}}$

Pour trouver les valeurs qui annulent la dérivée dans l'intervalle [0; 1000], nous devons résoudre l'équation :

$2x{\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}+(x-1000){\sqrt {x^{2}+160000}}=0$

équivalente à l'équation :

$2x{\sqrt {x^{2}-2000x+1360000}}=(1000-x){\sqrt {x^{2}+160000}}$

Élevons les deux membres au carré :

$4x^{2}(x^{2}-2000x+1360000)=(1000-x)^{2}(x^{2}+160000)$

En développant et en faisant passer tous les termes dans le premier membre, on obtient :

$3x^{4}-6000x^{3}+4280000x^{2}+320000000x-160000000000=0$

Qui se factorise sous la forme :

$(x+200)(3x^{3}-6600x^{2}+5600000x-800000000)=0$

x+200 ne s'annule pas sur [0; 1000]. Nous pouvons donc simplifier par cette expression et nous nous sommes ramenés à résoudre l'équation :

$3x^{3}-6600x^{2}+5600000x-800000000=0$

Nous nous retrouvons à résoudre une équation du troisième degré. Comme les méthodes de résolution exacte des équations du troisième degré ne sont généralement pas de ce niveau, nous résoudrons cette équation de façon approximative en posant :

$g(x)=3x^{3}-6600x^{2}+5600000x-800000000$

dont la dérivée est :

$g'(x)=9x^{2}-13200x+5600000$

Le discriminant du trinôme du second degré précédent est négatif. Par conséquent, g est positive sur [0; 1000]. Le tableau de variation de g sera donc :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&1000&\\&&&\\\hline g'(x)&&+&\\\hline g&-800000000&\nearrow &1200000000&\\\hline \end{array}}$

g est strictement croissante et continue sur [0; 1000]. g réalise donc une bijection de [0; 1000] vers [-800000000; 1200000000]. Comme 0 appartient à [-800000000; 1200000000], 0 admet un antécédent α dans [0; 1000] qui est racine de l'équation g(x) = 0.

Déterminons α grâce à des tableaux de valeur :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&100&&200&&300&&400&&500&&600&&700&&800&&900&&1000\\&&&\\\hline g(x)&-800000000&&-303000000&&80000000&&367000000&&576000000&&725000000&&832000000&&915000000&&992000000&&1081000000&&1200000000\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le changement de signe est entre 100 et 200; Donc α est entre 100 et 200.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&100&&110&&120&&130&&140&&150&&160&&170&&180&&190&&200\\&&&\\\hline g(x)&-303000000&&-259867000&&-217856000&&-176949000&&-137128000&&-98375000&&-60672000&&-24001000&&11656000&&46317000&&80000000\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le changement de signe est entre 170 et 180. Donc α est entre 170 et 180.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&170&&171&&172&&173&&174&&175&&176&&177&&178&&179&&180\\&&&\\\hline g(x)&-24001000&&-20389967&&-16789056&&-13198249&&-9617528&&-6046875&&-2486272&&1064299&&4604856&&8135417&&11656000\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le changement de signe est entre 176 et 177. Donc α est entre 176 et 177.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&176&&176,1&&176,2&&176,3&&176,4&&176,5&&176,6&&176,7&&176,8&&176,9&&177\\&&&\\\hline g(x)&-2486272&&-2130764&&-1775355&&-1420048&&-1064840&&-709734&&-354727&&180&&354986&&709693&&1064299\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le changement de signe est entre 176,6 et 176,7. Donc α est entre 176,6 et 176,7.

Nous avons suffisamment de précision et, en plus la valeur obtenue pour 176,7 est beaucoup plus proche de 0 que la valeur obtenue pour 176,6. Nous dirons donc que α est environ égal à 176,7 à 0,1 près.

Nous pouvons maintenant revenir à l'étude du sens de variation de f dont le signe de la dérivée est donné par la fonction g. Nous obtenons donc pour f le tableau de variation suivant :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&\alpha &&+\infty \\&&&\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f&&\searrow &f(\alpha )&\nearrow &\\\hline \end{array}}$

Nous pouvons conclure, en voyant ce tableau, que, pour minimiser le temps de parcours de M à N, l'homme doit aborder sur la place en un point P tel que $mP\simeq 176,7$ mètres.