Étude et tracé d'une fonction/Résolution approchée d'équations

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Dans ce chapitre,nous allons étudier une application concrète de ce que l'on a vu dans les chapitres précédents. Il s'agit de la résolution approximative d'équations à une inconnue x.

Soit à résoudre une équation :

$f(x)=0$

f étant une fonction de la variable x et f(x) étant par conséquent une expression où figure la variable x.

Résoudre l'équation précédente revient à repérer avec le plus de précision possible les valeurs de x pour lesquelles la courbe représentative de la fonction f coupe l'axe des abscisses.

Application bijective

Tout d'abord, nous préciserons que le mot « application » est un synonyme du mot « fonction ». On aurait pu, tout aussi bien, parler de fonction bijective (ou simplement de bijection), mais l'usage veut que selon le contexte, nous utilisons plutôt le mot « fonction » ou le mot « application ». Sans véritable raison, on parlera plutôt de :

• « fonction rationnelle » et rarement d'« application rationnelle ».
• « application bijective » et rarement de « fonction bijective ».
• etc.

Bijection

Soit I et J deux intervalles de $\mathbb {R}$. On dira qu'une fonction f est une application bijective ou bijection de I vers J si :

• I est inclus dans le domaine de définition de f.
• Pour tout élément b de J, il existe un et un seul élément a dans I vérifiant f(a) = b (autrement dit, tout élément de J admet un unique antécédent dans I par la fonction f)

Pour aider le lecteur à comprendre où nous voulons en venir, nous rappelons que notre but est de résoudre l'équation f(x) = 0. Nous allons donc essayer de trouver au moins un intervalle I sur lequel la fonction f sera une bijection vers un intervalle J contenant 0. 0 ayant alors un unique antécédent par f dans l'intervalle I, nous pourrons affirmer qu'il y a, dans l'intervalle I, une et une seule solution à l'équation f(x) = 0.

Critère de bijectivité

À tout hasard, nous rappelons ce qu'est une fonction continue sur un intervalle I.

Définition

Une fonction f est continue sur un intervalle ]a;b[ appartenant à son domaine de définition si :

$\forall \alpha \in ]a;b[\qquad \lim _{x\to \alpha ^{+}}f(x)=\lim _{x\to \alpha ^{-}}f(x)=f(\alpha )$

(De façon plus concrète, le tracé de la courbe représentative sur ]a;b[ se fait sans lever le crayon)

Nous avons alors les théorèmes suivants:

Début d’un théorème

Théorème

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b].

Si f est dérivable sur ]a;b[ et si sa dérivée est strictement positive sur cet intervalle, alors f réalise une bijection de [a;b] vers [f(a);f(b)].

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a;b].

Si f est dérivable sur ]a;b[ et si sa dérivée est strictement négative sur cet intervalle, alors f réalise une bijection de [a;b] vers [f(b);f(a)].

Fin du théorème

Supposons maintenant que grâce aux théorèmes précédents nous réussissions à trouver un intervalle [a;b] tel que la fonction f réalise une bijection de [a;b] vers [f(a);f(b)] ou [f(b);f(a)] (selon que la fonction f est respectivement croissante ou décroissante sur [a;b]). Supposons que, de plus, f(a) et f(b) soit de signes contraires. Alors 0 appartient à l'intervalle d'arrivée et comme f est bijective, 0 admettra un antécédent par f dans [a;b] qui sera racine de l'équation f(x) = 0.

On peut énoncer :

Début d’un théorème

Théorème

Soit :

$f(x)=0$

une équation à résoudre.

Si l’on détermine un intervalle [a;b] vérifiant les conditions suivantes :

• f est définie et continue sur [a;b]
• f est dérivable sur ]a;b[
• La dérivée de f est strictement positive ou strictement négative sur ]a;b[
• f(a) et f(b) sont de signes contraires.

Alors l’équation admet une et une seule racine dans l'intervalle [a;b]

Fin du théorème

Exemple 1 Soit l'équation : $x^{3}-6x^{2}+9x-1=0$ Déterminer grossièrement la position des racines dans l'intervalle [0;4] Corrigé Posons : $f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-1$ Le domaine de définition de cette fonction est $\mathbb {R}$. Sa dérivée est : $f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)$ On en déduit le tableau de variation suivant : Sur l'intervalle [0;1]. f' est strictement positive sur ]0;1[. Comme f est continue, elle réalise une bijection de [0;1] vers [f(0);f(1)] = [-1;3]. 0 appartenant à [-1;3] admet un antécédent par f dans [0;1] qui est racine de l'équation f(x) = 0. Sur l'intervalle [1;3]. f' est strictement négative sur ]1;3[. Comme f est continue, elle réalise une bijection de [1;3] vers [f(3);f(1)] = [-1;3]. 0 appartenant à [-1;3] admet un antécédent par f dans [1;3] qui est racine de l'équation f(x) = 0. Sur l'intervalle [3;4]. f' est strictement positive sur ]3;4[. Comme f est continue, elle réalise une bijection de [3;4] vers [f(3);f(4)] = [-1;3]. 0 appartenant à [-1;3] admet un antécédent par f dans [3;4] qui est racine de l'équation f(x) = 0. En conclusion, et compte tenu du tableau de variation, nous pouvons dire que l'équation : $x^{3}-6x^{2}+9x-1=0$ admet trois racines : une dans l'intervalle [0;1]. une dans l'intervalle [1;3]. une dans l'intervalle [3;4].

Amélioration de la localisation des racines grâce à la dichotomie

Nous avons vu précédemment comment localiser grossièrement une racine d'une équation. Supposons que nous sachions qu'une racine se trouve dans un intervalle [a;b]. Supposons que l'on souhaite avoir plus de précision sur la position de cette racine. Nous allons voir qu'il existe une méthode de recherche par dichotomie permettant de diviser par deux la largeur de l'intervalle dans lequel se trouve la racine. Cette méthode pouvant être répétée autant que l'on souhaite, on peut ainsi réussir à obtenir un intervalle très étroit donnant une grande précision sur la position de la racine.

Soit donc une équation :

$f(x)=0$

et supposons que nous ayons réussi (en utilisant la technique du paragraphe précédent par exemple) à localiser une racine dans l'intervalle [a;b].

Supposons, pour fixer les idées que f(a) < 0 et f(b) > 0. Calculons alors :

$c={\frac {a+b}{2}}$

Nous avons alors deux cas de figure :

Premier cas : f(c) > 0.

Nous voyons alors que f(a) et f(c) sont de signes contraires et par conséquent 0 appartient à l'intervalle [f(a);f(c)], ce qui signifie que la racine se trouve dans l'intervalle [a;c].

Deuxième cas : f(c) < 0.

Nous voyons alors que f(c) et f(b) sont de signes contraires et par conséquent 0 appartient à l'intervalle [f(c);f(b)], ce qui signifie que la racine se trouve dans l'intervalle [c;b].

Dans les deux cas, nous voyons que nous avons réussi à localiser la racine dans un intervalle deux fois moins large.

Et nous pouvons répéter l'opération autant de fois que l'on souhaite pour obtenir une valeur de la racine aussi précise que nécessaire.

Amélioration de la localisation des racines grâce aux tableaux de valeurs des calculatrices

Certaines calculatrices permettent de construire automatiquement des tableaux de valeurs. Le principe est simple : on rentre la fonction dans la calculatrice, on donne une valeur initiale et une valeur finale et un pas qui représente la différence entre deux valeurs dont l'image par la fonction est calculée par la calculatrice.

Supposons que l'on a déterminé que la racine d'une équation f(x) = 0 est entre 2 et 3. On peut alors rentrer 2 comme valeur initiale et 3 comme valeur finale dans la calculatrice avec un pas de 0,1. La calculatrice nous donnera alors automatiquement toutes les valeurs de la fonction pour 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3. Il suffit alors de regarder pour quelles valeurs la fonction change de signe pour avoir un intervalle moins large dans lequel se trouve la racine. Supposons que l'on ait f(2,7) = -0,34 et f(2,8) = 0,23, alors en ré-appliquant le théorème précédent, on en déduit que la racine est entre 2,7 et 2,8. Mais ce n’est pas tout, on peut recommencer l'opération en prenant cette fois 2,7 comme valeur initiale et 2,8 comme valeur finale avec un pas de 0,01. Et l'on obtiendra un nouvel intervalle 10 fois moins large que le précédent dans lequel se trouve la racine. On peut ainsi recommencer l'opération jusqu'à obtenir la précision désirée sur la racine.

Étude d'un exemple

Pour perpétrer la tradition que nous avons établie dans les chapitres précédents, nous clôturerons à nouveau ce chapitre par l'étude d'une fonction ayant un rapport avec ce que nous avons dit dans ce chapitre :

Soit donc à étudier la fonction f défini par :

$f(x)=x^{4}-2x^{3}-x^{2}-2x+1$

Domaine de définition

Il n'y a ici ni dénominateur, ni racine. Nous avons donc :

$D_{f}=\mathbb {R}$

Limites aux bornes du domaine de définition

Nous voyons qu'il y a deux limites à calculer, en $+\infty$ et en $-\infty$ :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }x^{4}-2x^{3}-x^{2}-2x+1=\lim _{x\to +\infty }x^{4}=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }x^{4}-2x^{3}-x^{2}-2x+1=\lim _{x\to -\infty }x^{4}=+\infty$

Calcul de la dérivée

Il s'agit simplement d'un polynôme, donc :

$f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-2x-2=2(2x^{3}-3x^{2}-x-1)$

C'est ici que va se concentrer toutes la difficulté de cette étude. Il nous faut étudier le signe de cette dérivée qui est un polynôme du troisième degré et qui n'a pas de racines évidentes. Comme le 2 devant la parenthèse n'influence en rien le signe de la dérivée, nous nous occuperons de l'intérieur de la parenthèse en posant :

$g(x)=2x^{3}-3x^{2}-x-1$

Il arrive effectivement que nous devions quelquefois poser une fonction auxiliaire à étudier pour déterminer le signe de la dérivée de la fonction principale.

La dérivée de la fonction g est :

$g'(x)=6x^{2}-6x-1$

Nous avons un polynôme du second degré dont le discriminent est positif. Nous en déduisons les racines :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {1}{2}}-{\sqrt {\frac {5}{12}}}\simeq -0,145\\x_{2}={\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {5}{12}}}\simeq 1,145\end{cases}}$

Le tableau de variation de g s'en suit :

Avec :

$g(x_{1})=g\left({\frac {1}{2}}-{\sqrt {\frac {5}{12}}}\right)={\frac {5{\sqrt {15}}}{18}}-2\simeq -0,924$

Si nous raisonnons sur le tableau de variation, nous voyons que sur l'intervalle $]-\infty ;\;x_{2}]$, la plus haute valeur obtenue est g(x₁) qui est négative. Par conséquent g ne s'annule pas sur $]-\infty ;\;x_{2}]$. Par contre, sur l'intervalle $[x_{2};\;+\infty [$, g part d'une valeur négative et est croissante jusqu'à $+\infty$. On peut donc penser qu'il existe une valeur dans $[x_{2};\;+\infty [$ pour laquelle g, et par conséquent f' s'annule.

Essayons de calculer quelques valeurs de f' pour essayer de mieux localiser la valeur qui annule f'. On a :

$f'(2)=2$

La valeur obtenue est positive. Donc la valeur qui annule f' est avant 2, essayons :

$f'(1,5)=-5$

Nous avons un intervalle qui satisfait les conditions du théorème vu plus haut. On peut dire :

f' est strictement croissante sur ]1,5; 2[. Comme f' est continue, elle réalise une bijection de [1,5; 2] vers [f'(1,5); f'(2)] = [-5; 2]. 0 appartement à [-5; 2] admet un antécédent α par f' dans [1,5; 2] qui est racine de l'équation f'(x) = 0.

Nous avons localisé la seule valeur α qui annule la dérivée, elle est dans l'intervalle [1,5; 2].

Essayons maintenant d'obtenir la valeur de α à 0,01 près. Nous disposons de deux méthodes, la dichotomie et les tableaux de valeurs. À titre d'exemple, nous allons utiliser successivement ces deux méthodes, mais il va de soi que l'une des deux suffit.

Dichotomie.

Il n'est pas nécessaire de couper chaque fois l'intervalle exactement en deux. Selon les valeurs obtenues pour les bornes, notre intuition nous permet un meilleur découpage pour gagner du temps. Nous démarrons ici sur :

${\begin{cases}f'(1,5)=-5\\f'(2)=2\end{cases}}$

La stricte application de la dichotomie nous ferait prendre la valeur 1,75. Mais comme la valeur obtenue pour 2 est plus proche de 0 que la valeur obtenue pour 1,5, notre intuition nous amène à penser que α est plus proche de 2 que de 1,5, nous calculerons donc :

$f'(1,8)=-1,712$

comme f'(2) était positive, nous en déduisons que α est dans l'intervalle [1,8: 2]. Nous calculerons donc :

$f'(1,9)=-0,024$

comme f'(2) était positive, nous en déduisons que α est dans l'intervalle [1,9: 2]. En résumé, nous avons :

${\begin{cases}f'(1,9)=-0,024\\f'(2)=2\end{cases}}$

f'(1,9) étant beaucoup plus proche de 0 que f'(2), notre intuition nous amène à penser que α est plus proche de 1,9. Nous calculerons donc :

$f'(1,94)=0,743936$

comme f'(1,9) était négative, nous en déduisons que α est dans l'intervalle [1,9: 1,94]. Nous calculerons donc :

$f'(1,92)=0,353152$

comme f'(1,9) était négative, nous en déduisons que α est dans l'intervalle [1,9: 1,92]. Nous calculerons donc :

$f'(1,91)=0,162884$

comme f'(1,9) était négative, nous en déduisons que α est dans l'intervalle [1,9: 1,91]. Et nous arrêterons là car notre intervalle à une largeur de 0,01 qui était la précision souhaitée.

Nous retiendrons que α est environs égal à 1,90 par défaut à 0,01 près.

Une façon très pratique d'opérer est de placer les valeurs obtenues dans un tableau de valeurs que l'on va remplir au fur et à mesure que l'on calcule les images par f des nombres choisis par dichotomie. Si l'on trouve un résultat négatif, on mettra la valeur à gauche dans le tableau. Si l'on trouve un résultat positif, on mettra la valeur à droite dans le tableau. Pour notre exemple, le tableau rempli donnerait :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&1,5&&1,8&&1,9&&&&&&&&&&&&&&1,91&&1,92&&1,94&&2\\&&&\\\hline f'(x)&-5&&-1,712&&-0,024&&&&&&&&&&&&&&0,163&&0,353&&0,744&&2\\\hline \end{array}}$

où l'on voit clairement que la valeur recherchée est entre 1,9 et 1,91.

Tableau de valeurs de la calculatrice.

Si vous possédez une calculatrice capable de vous donner des tableaux de valeurs, vous pouvez procéder ainsi :

On rentre comme valeur initiale 1,5 et comme valeur finale 2 avec un pas de 0,1 (il arrive que la valeur finale ne soit pas demandée, auquel cas la calculatrice donne un tableau que l'on peut faire dérouler indéfiniment)

Nous obtenons :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&1,5&&1,6&&1,7&&1,8&&1,9&&2\\&&&\\\hline f'(x)&-5&&-4,176&&-3,088&&-1,712&&-0,024&&2\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que f' change de signe entre 1,9 et 2. α est donc dans [1,9: 2].

Recommençons donc un tableau de valeurs en mettant comme valeur initiale 1,9 et comme valeur finale 2 avec un pas de 0,01.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&1,90&&1,91&&1,92&&1,93&&1,94&&1,95&&1,96&&1,97&&1,98&&1,99&&2\\&&&\\\hline f'(x)&-0,024&&0,163&&0,353&&0,547&&0,744&&0,944&&1,148&&1,356&&1,567&&1,782&&2\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que f' change de signe entre 1,90 et 1,91. α est donc dans [1,90: 1,91].

Et nous avons atteint ici le même niveau que nous avions atteint pour la dichotomie. Nous retiendrons que α est environs égal à 1,90 par défaut à 0,01 près.

Pour le plaisir essayons d'aller un peu plus loin pour avoir une valeur de α à 0,001.

Recommençons donc un tableau de valeurs en mettant comme valeur initiale 1,90 et comme valeur finale 1,91 avec un pas de 0,001.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&1,900&&1,901&&1,902&&1,903&&1,904&&1,905&&1,906&&1,907&&1,908&&1,909&&1,910\\&&&\\\hline f'(x)&-0,024&&-0,005&&0,013&&0,032&&0,050&&0,069&&0,088&&0,106&&0,125&&0,144&&0,163\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que f' change de signe entre 1,901 et 1,902. α est donc dans [1,901: 1,902].

Nous retiendrons que α est environs égal à 1,901 par défaut à 0,001 près.

Encore un petit coup, le dernier, c'est promis :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&1,9010&&1,9011&&1,9012&&1,9013&&1,9014&&1,9015&&1,9016&&1,9017&&1,9018&&1,9019&&1,9020\\&&&\\\hline f'(x)&-0,0055&&-0,0036&&-0,0018&&0,0001&&0,0020&&0,0038&&0,0057&&0,0075&&0,0094&&0,0112&&0,0131\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que f' change de signe entre 1,9012 et 1,9013. α est donc dans [1,9012: 1,9013].

Nous retiendrons que α est environs égal à 1,9012 par défaut à 0,0001 près.

Tableau de variations

Pour récapituler, nous avons une dérivée :

$f'(x)=2(2x^{3}-3x^{2}-x-1)$

qui s'annule pour x = α, qui est négative avant α et positive après, nous en déduisons le tableau de variation de f :

Avec :

$\alpha \simeq 1,9$

$f(\alpha )\simeq f(1,9012)\simeq -7,1$

Dans ce tableau nous avons fait figurer :

• Les valeurs importantes prises par la variable.
• Le signe de la dérivée dans chaque intervalle.
• Des flèches allant des limites ou des valeurs de la fonction vers des limites ou des valeurs de la fonction.

Études particulières pour préciser le tracé

Points d'inflexion

On a vu que la dérivée seconde s'annulait pour :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {1}{2}}-{\sqrt {\frac {5}{12}}}\simeq -0,145\\x_{2}={\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {5}{12}}}\simeq 1,145\end{cases}}$

Par conséquent x₁ et x₂ sont les abscisses de deux points d'inflexion dont les ordonnées sont respectivement :

${\begin{cases}f(x_{1})=f\left({\frac {1}{2}}-{\sqrt {\frac {5}{12}}}\right)={\frac {2{\sqrt {15}}}{3}}-{\frac {47}{36}}\simeq 1,27643\\f(x_{2})=f\left({\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {5}{12}}}\right)=-{\frac {2{\sqrt {15}}}{3}}-{\frac {47}{36}}\simeq -3,88754\end{cases}}$

Nous savons que les points d'inflexion sont des points où la courbe traverse sa tangente. Il est donc important, pour guider le tracé, de faire figurer les tangentes aux points d'inflexion. Nous devons donc calculer l'équation des tangentes aux deux points d'inflexion.

Pour le premier point d'inflexion, l'équation de la tangente est :

$y=f'(x_{1})(x-x_{1})+f(x_{1})$

Soit en remplaçant approximativement :

$y=f'(-0,145)(x+0,145)+f(-0,145)$

Ce qui donne approximativement, tous calculs faits :

$y=-1,85x+1$

Pour le deuxième point d'inflexion, l'équation de la tangente est :

$y=f'(x_{2})(x-x_{2})+f(x_{2})$

Soit en remplaçant approximativement :

$y=f'(1,145)(x-1,145)+f(1,145)$

Ce qui donne approximativement, tous calculs faits :

$y=-6,15x+3,16$

En résumé :

Le premier point d'inflexion a pour coordonnées (-0,145; 1,276) et pour tangente la droite d'équation y=-1,85x+1.

Le premier point d'inflexion a pour coordonnées (1,145; -3,888) et pour tangente la droite d'équation y=-6,15x+3,16.

Interception avec l'axe des abscisses

Nous allons ici chercher les points d'interception de la courbe avec l'axe des abscisses, ce qui est bien dans le thème du chapitre puisque cela revient à résoudre l'équation :

$f(x)=0$

Commençons par faire un repérage rapide des racines avec un tableau de valeurs de valeur initiale -5, de valeur finale 5 et de pas égale à 1 :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-5&&-4&&-3&&-2&&-1&&0&&1&&2&&3&&4&&5\\&&&\\\hline f(x)&861&&377&&133&&33&&5&&1&&-3&&-7&&13&&105&&341\\\hline \end{array}}$

Et nous voyons que la courbe coupe l'axe des abscisses pour une valeur de x comprise entre 0 et 1 et pour une valeur de x comprise entre 2 et 3.

Essayons d'affiner ces deux valeurs à une précision de 0,01 prés.

Pour la valeur comprise entre 0 et 1 :

Refaisons un tableau de valeurs en prenant comme valeur initiale 0 et comme valeur finale 1 avec un pas de 0,1 :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&0,1&&0,2&&0,3&&0,4&&0,5&&0,6&&0,7&&0,8&&0,9&&1\\&&&\\\hline f(x)&1&&0,79&&0,55&&0,26&&-0,06&&-0,43&&-0,86&&-1,34&&-1,85&&-2,41&&-3\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la courbe coupe l'axe des abscisses pour une valeur comprise entre 0,3 et 0,4.

Refaisons donc un tableau de valeurs en prenant comme valeur initiale 0,3 et comme valeur finale 0,4 et un pas de 0,01 :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0,30&&0,31&&0,32&&0,33&&0,34&&0,35&&0,36&&0,37&&0,38&&0,39&&0,40\\&&&\\\hline f(x)&0,26&&0,23&&0,20&&0,17&&0,14&&0,11&&0,07&&0,04&&0,007&&-0,03&&-0,06\\\hline \end{array}}$

Et nous voyons que la courbe coupe l'axe des abscisses pour une valeur de x comprise entre 0,38 et 0,39.

Pour la valeur comprise entre 2 et 3 :

Refaisons un tableau de valeurs en prenant comme valeur initiale 2 et comme valeur finale 3 avec un pas de 0,1 :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&2&&2,1&&2,2&&2,3&&2,4&&2,5&&2,6&&2,7&&2,8&&2,9&&1\\&&&\\\hline f(x)&-7&&-6,68&&-6,11&&-5,24&&-4,03&&-2,44&&-0,41&&2,09&&5,12&&8,74&&13\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la courbe coupe l'axe des abscisses pour une valeur comprise entre 2,6 et 2,7.

Refaisons donc un tableau de valeurs en prenant comme valeur initiale 2,6 et comme valeur finale 2,7 et un pas de 0,01 :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&2,60&&2,61&&2,62&&2,63&&2,64&&2,65&&2,66&&2,67&&2,68&&2,69&&2,70\\&&&\\\hline f(x)&-0,41&&-0,19&&0,05&&0,28&&0,53&&0,77&&1,03&&1,28&&01,54&&1,81&&2,09\\\hline \end{array}}$

Et nous voyons que la courbe coupe l'axe des abscisses pour une valeur de x comprise entre 2,61 et 2,62.

Tracé de la courbe

On commence par tracer le repère. On place le minimum de coordonnées environ égales à (1,9; -7,1). On place ensuite les deux points d'inflexion accompagnés de leur tangente. On place les points d'interception de la courbe avec les axes du repère.

En s'aidant de tous les éléments que l'on a mis, on trace ensuite la courbe et l'on obtient :