Étude et tracé d'une fonction/Exercices/Problèmes concrets d'optimisation (2)

Exercice 11-1

Un verger d'un hectare contient 100 pommiers. Chaque pommier produit (environ) 500 pommes. On a déterminé empiriquement que chaque pommier supplémentaire à l'hectare diminue en moyenne le rendement de chaque arbre de 0,25 %. Déterminez le nombre de pommiers supplémentaires que l'on peut planter pour maximiser le rendement du verger.

Solution

Soit x le nombre de pommiers supplémentaires que l'on plante.

Si l'on plante x pommiers supplémentaires, il y aura alors 100 + x pommiers. Mais chaque arbre ne produira plus que :

$500-500\times x\times {\frac {0,25}{100}}=500-{\frac {5x}{4}}$

pommes.

Soit f la fonction qui, à tout x, associe le nombre total de pommes produites dans le verger. On aura :

$f(x)=(100+x)(500-{\frac {5x}{4}})=-{\frac {5}{4}}x^{2}+375x+50000$

La dérivée de cette fonction sera :

$f'(x)=-{\frac {5}{2}}x+375$

qui s'annule pour :

$x={\frac {375\times 2}{5}}=150$

Notre tableau de variation sera alors :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&150&&+\infty \\&&&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline f&&\nearrow &78125&\searrow &\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que l'on peut maximiser le rendement du verger en plantant 150 pommiers supplémentaires

 

Exercice 11-2

À midi, un bateau A se trouve à 60 km au nord d'un bateau B. Le bateau B se dirige vers l'est à 10 km/h est le bateau A se dirige vers le sud à 15 km/h. À quelle heure la distance entre les deux bateaux sera-t-elle minimum, et qu'elle sera-t-elle ?

Solution

Soit x le temps en heures. f sera la distance qui, à tout x, associe la distance entre les deux bateaux.

Les trajets suivis par les deux bateaux sont perpendiculaires et se coupent au point où se trouvait le bateau B à midi. On peut donc représenter ces deux trajets par deux axes formant un repère dont l'origine est le point où se trouvait le bateau B à midi.

À midi, le bateau A à pour coordonnées (0; 60) et le bateau B à pour coordonnées (0, 0).

Au bout de x heures, le bateau A aura parcouru une distance de 15x kilomètres vers l'origine du repère. Ses coordonnées seront alors (0; 60-15x).

Au bout de x heures, le bateau B se sera éloigné de l'origine du repère de 10x kilomètres. Ses coordonnées seront alors (10x, 0).

Au bout de x heures, la distance entre les deux bateaux sera donc :

$f(x)={\sqrt {(60-15x)^{2}+(10x)^{2}}}={\sqrt {325x^{2}-1800x+3600}}=5{\sqrt {13x^{2}-72x+144}}$

Nous remarquons que le discriminant du trinôme du second degré, sous la racine, est négatif. Par conséquent le trinôme est toujours positif et f est définie pour tout x.

La dérivée de f sera :

$f'(x)=5{\frac {26x-72}{2{\sqrt {13x^{2}-72x+144}}}}$

Nous voyons que la dérivée s'annule pour :

$x={\frac {72}{26}}={\frac {36}{13}}\simeq 2,77$

Notre tableau de variation sera alors :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&{\frac {36}{13}}&&+\infty \\&&&\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline f&&\searrow &{\frac {120}{\sqrt {13}}}&\nearrow &\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que la distance entre les deux bateaux sera minimale au bout de 36/13 heures, soit à 2 heures 46 minutes 9 secondes (et 23 centièmes de seconde).

La distance entre les deux bateaux sera alors de 33 kilomètres et 282 mètres.

 

Exercice 11-3

On donne un demi-cercle de diamètre [AB]. On projette A en P sur la tangente en M à ce demi-cercle. Déterminez M de manière que l'aire du triangle OMP soit maximum (O, milieu de [AB]).

Solution

Nous pouvons repérer le point M sur le demi-cercle à l'aide de l'angle x non orienté défini par :

$x=\left({\widehat {{\overrightarrow {OA}};\;{\overrightarrow {OM}}}}\right)$

nous poserons f la fonction qui, à tout x, associe l'aire du triangle OMP.

Puisque OMP est un triangle rectangle, nous avons déjà :

$f(x)={\frac {OM\times PM}{2}}={\frac {r\times PM}{2}}$

r étant le rayon du demi-cercle.

D'autre part, nous voyons que :

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {PM}{OA}}$

Nous en déduisons :

$PM=OA\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=r\sin(x)$

Et en reportant dans l'expression de f(x), nous obtenons :

$f(x)={\frac {r\times PM}{2}}={\frac {r\times r\sin(x)}{2}}$

Soit :

$f(x)={\frac {r^{2}}{2}}\sin(x)$

Nous en déduisons que f(x) sera maximale pour $x={\frac {\pi }{2}}$, c'est-à-dire que l’aire du triangle OMP sera maximale lorsque (OM) sera perpendiculaire à (AB).

 

Exercice 11-4

Trouver le maximum et le minimum du produit des cosinus des angles d'un triangle.

Solution

Soit x, y, z, les trois angles d'un triangle. Nous devons trouvez le maximum et le minimum de l'expression :

$\cos(x)\cos(y)\cos(z)$

Nous savons que :

$x+y+z=\pi$

L'expression, qui nous intéresse, devient donc :

$\cos(x)\cos(y)\cos(\pi -x-y)=-\cos(x)\cos(y)\cos(x+y)$

et nous voyons qu'elle dépend de deux variables indépendantes x et y.

Nous procéderons en deux étapes :

Dans la première étape, nous commencerons par considérer x comme donné et nous chercherons y en fonction de x qui permet de maximiser et minimiser le produit des cosinus.

Dans la deuxième étape, en donnant à y les valeurs trouvées en fonction de x dans la première étape, nous essayerons de trouver les valeurs de x qui maximisent et minimisent le produit des cosinus.

Première étape

x est donné et supposé constant. Posons alors :

$g(y)=-\cos(x)\cos(y)\cos(x+y)$

y appartient à l'intervalle $[0;\;\pi -x]$

Dérivons g :

$g'(y)=\cos(x)\sin(y)\cos(x+y)+\cos(x)\cos(y)\sin(x+y)=\cos(x)(\sin(y)\cos(x+y)+\cos(y)\sin(x+y))=\cos(x)\sin(x+2y)$

Sur l'intervalle $[0;\;\pi -x]$, nous voyons que la dérivée s'annule pour :

$y={\frac {\pi -x}{2}}$

Pour l'étude du signe de la dérivée, nous voyons que nous sommes confrontés à une difficulté. En effet, nous voyons que cos(x) est positif ou négatif selon que x est dans $[0;\;{\frac {\pi }{2}}]$ ou dans $[{\frac {\pi }{2}};\;\pi ]$. Nous pouvons lever cette difficulté en remarquant que dans un triangle, il y a toujours au moins un angle dont la mesure est dans $[0;\;{\frac {\pi }{2}}]$. Par conséquent, sans nuire à la généralité, nous pouvons choisir pour x la mesure d'un tel angle, ce qui nous assurera que cos(x) est positif.

Faisons un tableau de variation :

${\begin{array}{c|ccccc|}y&0&&{\frac {\pi -x}{2}}&&\pi -x\\&&&\\\hline g'(y)&&+&0&-&\\\hline g&-\cos ^{2}(x)&\nearrow &\cos(x)\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)&\searrow &-\cos ^{2}(x)\\\hline \end{array}}$

Grâce à ce tableau de variation, nous voyons clairement que pour x choisi dans $[0;\;{\frac {\pi }{2}}]$, le maximum du produit des cosinus des trois angles d'un triangle est $\cos(x)\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)$ et le minimum est $-\cos ^{2}(x)$

Deuxième étape

Dans cette étape, nous considérerons maintenant que c'est x qui varie dans $[0;\;{\frac {\pi }{2}}]$ et pour chaque valeur de x, le produit des cosinus est automatiquement optimisé en prenant pour y la valeur, en fonction de x, trouvé dans la première étape.

Nous pouvons commencer par essayer de trouver la valeur de x qui minimise le produit des cosinus des angles d'un triangle. Dans la première étape, nous avons vu que le minimum en fonction de x est donné par :

$f(x)=-\cos ^{2}(x)$

Nous n'avons pas besoin de faire une étude approfondie pour voir que ce minimum est obtenu pour x = 0. Nous sommes dans le cas d'un triangle aplati (le sommet du triangle est sur sa base). Dans ce cas, le triangle a deux angles de 0 radian et un angle de π radian. On vérifie aisément que le produit des cosinus du triangle aplati est égal à -1.

Essayons maintenant de trouver la valeur de x qui maximise le produit des cosinus des angles d'un triangle. Dans la première étape, nous avons vu que le maximum en fonction de x est donné par :

$f(x)=\cos(x)\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)$

La dérivée sera alors :

$f'(x)=-\sin(x)\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)+\cos(x)\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\left(\cos(x)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)-\sin(x)\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)=\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left(x+{\frac {x}{2}}\right)=\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {3x}{2}}\right)$

Dans $[0;\;{\frac {\pi }{2}}]$, nous voyons que la dérivée s'annule pour x = 0 et x = π/3. Le tableau de variation sera :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&{\frac {\pi }{3}}&&{\frac {\pi }{2}}\\&&&\\\hline f'(x)&0&+&0&-&\\\hline f&0&\nearrow &{\frac {1}{8}}&\searrow &0\\\hline \end{array}}$

Nous voyons que le maximum 1/8 est obtenu pour x = π/3. La valeur de y correspondante est :

$y={\frac {\pi -x}{2}}={\frac {\pi }{3}}$

La valeur de z correspondante est :

$z=\pi -x-y={\frac {\pi }{3}}$

Les trois angles du triangle sont égaux à π/3. Nous sommes dans le cas d'un triangle équilatéral.

Conclusion

Le produit des cosinus des angles d'un triangle sera minimal et égal à -1 pour un triangle aplati.

Le produit des cosinus des angles d'un triangle sera maximal et égal à ${\frac {1}{8}}$ pour un triangle équilatéral.

 

Exercice 11-5

Soit P(x) le profit réalisé par la commercialisation d'une quantité x de marchandise. Soit R(x) et C(x), respectivement le revenu et le coût occasionnés par la vente et la production de cette quantité x de marchandises. Expliquez le principe selon lequel :

« Le profit maximum est obtenu lorsque le coût marginal est égal au revenu marginal ».

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}