Équations et fonctions du second degré/Exercices/Vers la forme développée

Exercice 1

Développement

Développer les expressions suivantes :

1. $f_{1}(x)=2(x+4)^{2}-16$ ;
2. $f_{2}(x)=-3(x-3)^{2}-25$ ;
3. $f_{3}(x)=-(x-1)^{2}-3$ ;
4. $f_{4}(x)={\frac {2}{3}}\left(x-{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {2}{3}}$.

Solution

1. $2x^{2}+16x+16$ ;
2. $-3x^{2}+18x-52$ ;
3. $-x^{2}+2x-4$ ;
4. ${\frac {2}{3}}x^{2}-2x+{\frac {5}{6}}$.

 

Variations et extrema : en utilisant la forme canonique

1) a) Quelle est l'image de $-4$ par $f_{1}$ ?

b) $f_{2}$ vaut $-25$ en $x=.....$.

c) $f_{2}$ a pour m.........um $-25$.

d) $f_{3}$ a pour m.........um $-3$, atteint pour $x=......$.

e) $f_{4}$ a pour m.........um ....., atteint pour $x=......$.

Solution

a) $f_{1}(-4)=-16$.

b) $f_{2}(3)=-25$.

c) $f_{2}$ a pour maximum $-25$.

d) $f_{3}$ a pour maximum $-3$, atteint pour $x=1$.

e) $f_{4}$ a pour minimum $-{\frac {2}{3}}$, atteint pour $x={\frac {3}{2}}$.

 

2) a) $f_{1}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

b) $f_{2}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

c) $f_{3}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

d) $f_{4}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

Solution

a) $f_{1}$ est croissante sur $\left[-4,\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-4\right]$.

b) $f_{2}$ est croissante sur $\left]-\infty ,3\right]$ et décroissante sur $\left[3,\infty \right[$.

c) $f_{3}$ est croissante sur $\left]-\infty ,1\right]$ et décroissante sur $\left[1,\infty \right[$.

d) $f_{4}$ est croissante sur $\left[{\frac {3}{2}},\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,{\frac {3}{2}}\right]$.

 

Équations

1. Déterminer les antécédents de $0$ par $f_{2}$ (sans calcul).
2. Résoudre dans $\mathbb {R}$ : $-x^{2}+2x-4=-7$.
3. Déterminer les antécédents de $18$ par $f_{1}$ en résolvant une équation.

Solution

1. $f_{2}(x)\leq -25<0$.
2. $f_{3}(x)=-7\Leftrightarrow (x-1)^{2}=4\Leftrightarrow x-1=\pm 2\Leftrightarrow x=3{\text{ ou }}-1$.
3. $f_{1}(x)=18\Leftrightarrow (x+4)^{2}=17\Leftrightarrow x=-4\pm {\sqrt {17}}$.

 

Exercice 2

Développement

Développer les expressions suivantes :

1. $f_{1}(x)=-2\left(x-4\right)^{2}-16$ ;
2. $f_{2}(x)=\left(x+3\right)^{2}-25$ ;
3. $f_{3}(x)=\left(x+1\right)^{2}-3$ ;
4. $f_{4}(x)=-{\frac {2}{3}}\left(x-{\frac {5}{2}}\right)^{2}-{\frac {2}{3}}$.

Solution

1. $-2x^{2}+16x-48$ ;
2. $x^{2}+6x-16$ ;
3. $x^{2}+2x-2$ ;
4. $-{\frac {2}{3}}x^{2}+{\frac {10}{3}}x-{\frac {29}{6}}$.

 

Variations et extrema : en utilisant la forme canonique

1) a) $f_{1}$ a pour m.........um ....., atteint pour $x=......$.

b) $f_{2}$ a pour m.........um ....., atteint pour $x=......$.

c) $f_{3}$ a pour m.........um ....., atteint pour $x=......$.

d) $f_{4}$ a pour m.........um ....., atteint pour $x=......$.

Solution

a) $f_{1}$ a pour maximum $-16$, atteint pour $x=4$.

b) $f_{2}$ a pour minimum $-25$, atteint pour $x=-3$.

c) $f_{3}$ a pour minimum $-3$, atteint pour $x=-1$.

d) $f_{4}$ a pour maximum $-{\frac {2}{3}}$, atteint pour $x={\frac {5}{2}}$.

 

2) a) $f_{1}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

b) $f_{2}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

c) $f_{3}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

d) $f_{4}$ est croissante sur .............. et décroissante sur ..................

Solution

a) $f_{1}$ est croissante sur $\left]-\infty ,4\right]$ et décroissante sur $\left[4,\infty \right[$.

b) $f_{2}$ est croissante sur $\left[-3,\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-3\right]$.

c) $f_{3}$ est croissante sur $\left[-1,\infty \right[$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-1\right]$.

d) $f_{4}$ est croissante sur $\left]-\infty ,{\frac {5}{2}}\right]$ et décroissante sur $\left[{\frac {5}{2}},\infty \right[$.

 

Antécédents et équations

1. Déterminer sans calculs les antécédents de $-2$ par $f_{1}$.
2. Déterminer en résolvant une équation les antécédents de $0$ par $f_{2}$.
3. Résoudre l'équation $x^{2}+2x-2=0$.

Solution

1. $f_{1}(x)\leq -16<-2$.
2. $f_{2}(x)=0\Leftrightarrow \left(x+3\right)^{2}=25\Leftrightarrow x+3=\pm 5\Leftrightarrow x=2{\text{ ou }}-8$.
3. $f_{3}(x)=0\Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}=3\Leftrightarrow x=-1\pm {\sqrt {3}}$.