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Exercice : Équation du second degréÉquations et fonctions du second degré/Exercices/Équation du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans tout l'exercice, on notera x₁ la plus petite racine et x₂ la plus grande. Lorsque le polynôme admet une racine double, on donnera les mêmes valeurs à x₁ et x₂.
Soit ƒ la fonction définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
:
x
↦
−
4
x
2
+
b
x
−
3
{\displaystyle f:x\mapsto -4x^{2}+bx-3}
Déterminer les valeurs de b pour lesquelles ƒ admet une seule racine.
Résoudre dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
x
2
−
7
x
+
11
)
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
1
{\displaystyle \left(x^{2}-7x+11\right)^{\left(x^{2}-11x+30\right)}=1}
Solution
a
b
=
1
{
a
=
1
b
=
0
e
t
a
≠
0
a
=
−
1
e
t
b
=
2
k
,
k
∈
N
{\displaystyle a^{b}=1{\begin{cases}a=1\\b=0&et&a\neq 0\\a=-1&et&b=2k&,k\in \mathbb {N} \end{cases}}}
(
x
2
−
7
x
+
11
)
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
1
{
x
2
−
7
x
+
11
=
1
{
x
2
−
11
x
+
30
=
0
x
2
−
7
x
+
11
≠
0
{
x
2
−
7
x
+
11
=
−
1
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
2
k
,
k
∈
N
{\displaystyle \left(x^{2}-7x+11\right)^{\left(x^{2}-11x+30\right)}=1{\begin{cases}x^{2}-7x+11=1\\{\begin{cases}x^{2}-11x+30=0\\x^{2}-7x+11\neq 0\end{cases}}\\{\begin{cases}x^{2}-7x+11=-1\\(x^{2}-11x+30)=2k,k\in \mathbb {N} \end{cases}}\end{cases}}}
(
x
2
−
7
x
+
11
)
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
1
{
x
2
−
7
x
+
10
=
0
{
x
2
−
11
x
+
30
=
0
x
2
−
7
x
+
11
≠
0
{
x
2
−
7
x
+
12
=
0
x
2
−
11
x
+
30
=
2
k
,
k
∈
N
{\displaystyle \left(x^{2}-7x+11\right)^{\left(x^{2}-11x+30\right)}=1{\begin{cases}x^{2}-7x+10=0\\{\begin{cases}x^{2}-11x+30=0\\x^{2}-7x+11\neq 0\end{cases}}\\{\begin{cases}x^{2}-7x+12=0\\x^{2}-11x+30=2k,k\in \mathbb {N} \end{cases}}\end{cases}}}
(
x
2
−
7
x
+
11
)
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
1
{
(
x
−
2
)
(
x
−
5
)
=
0
{
(
x
−
6
)
(
x
−
5
)
=
0
x
2
−
7
x
+
11
≠
0
{
(
x
−
4
)
(
x
−
3
)
=
0
x
2
−
11
x
+
30
=
2
k
,
k
∈
N
{\displaystyle \left(x^{2}-7x+11\right)^{\left(x^{2}-11x+30\right)}=1{\begin{cases}(x-2)(x-5)=0\\{\begin{cases}(x-6)(x-5)=0\\x^{2}-7x+11\neq 0\end{cases}}\\{\begin{cases}(x-4)(x-3)=0\\x^{2}-11x+30=2k,k\in \mathbb {N} \end{cases}}\end{cases}}}
(
x
2
−
7
x
+
11
)
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
1
{
{
x
=
2
x
=
5
{
{
x
=
6
x
=
5
x
2
−
7
x
+
11
≠
0
{
{
x
=
4
x
=
3
x
2
−
11
x
+
30
=
2
k
,
k
∈
N
{\displaystyle \left(x^{2}-7x+11\right)^{\left(x^{2}-11x+30\right)}=1{\begin{cases}{\begin{cases}x=2\\x=5\end{cases}}\\{\begin{cases}{\begin{cases}x=6\\x=5\end{cases}}\\x^{2}-7x+11\neq 0\end{cases}}\\{\begin{cases}{\begin{cases}x=4\\x=3\end{cases}}\\x^{2}-11x+30=2k,k\in \mathbb {N} \end{cases}}\end{cases}}}
(
x
2
−
7
x
+
11
)
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
1
{
{
x
=
2
x
=
5
{
{
x
=
6
x
=
5
{
6
2
−
7
×
6
+
11
=
5
≠
0
5
2
−
7
×
5
+
11
=
1
≠
0
{
{
x
=
4
x
=
3
{
4
2
−
11
×
4
+
30
=
2
×
1
,
3
2
−
11
×
3
+
30
=
2
×
3
,
3
{\displaystyle \left(x^{2}-7x+11\right)^{\left(x^{2}-11x+30\right)}=1{\begin{cases}{\begin{cases}x=2\\x=5\end{cases}}\\{\begin{cases}{\begin{cases}x=6\\x=5\end{cases}}\\{\begin{cases}6^{2}-7\times 6+11=5\neq 0\\5^{2}-7\times 5+11=1\neq 0\end{cases}}\end{cases}}\\{\begin{cases}{\begin{cases}x=4\\x=3\end{cases}}\\{\begin{cases}4^{2}-11\times 4+30=2\times 1,\\3^{2}-11\times 3+30=2\times 3,3\end{cases}}\end{cases}}\end{cases}}}
(
x
2
−
7
x
+
11
)
(
x
2
−
11
x
+
30
)
=
1
{
x
=
2
x
=
3
x
=
4
x
=
5
x
=
6
{\displaystyle \left(x^{2}-7x+11\right)^{\left(x^{2}-11x+30\right)}=1{\begin{cases}x=2\\x=3\\x=4\\x=5\\x=6\end{cases}}}
