Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Méthode de Descartes

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Méthode de Descartes
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Chapitre no 5
Leçon : Équation du quatrième degré
Chap. préc. :Méthode de Ferrari
Chap. suiv. :Méthode de Lagrange

Exercices :

Sur la méthode de Descartes
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Équation du quatrième degré/Méthode de Descartes
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Après avoir vu la méthode de Ferrari, nous allons étudier une seconde méthode de résolution des équations du quatrième degré, due à René Descartes.

Préliminaire[modifier | modifier le wikicode]



La méthode de Descartes utilise la propriété suivante :



Exercice d'échauffement[modifier | modifier le wikicode]

Commençons par développer deux polynômes unitaires irréductibles du second degré dont les coefficients du second degré sont opposés. Nous avons par exemple :

.


Nous allons maintenant essayer de refactoriser le polynôme x4 – 20x2 – 5x + 6 de manière à retrouver les deux polynômes du second degré, à coefficients du premier degré opposés, dont nous étions partis.

Pour cela, nous poserons a priori :

.

En développant le second membre, nous obtenons :

.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système :

Nous voyons alors que ce système peut s'écrire :

Par addition et soustraction membre à membre des deux premières équations, on obtient :

En portant les valeurs trouvées de b et c des deux premières équations dans la troisième, on obtient :

La troisième équation peut alors s'écrire, en utilisant l'identité remarquable (a + b)(ab) = a2b2 :

.

En multipliant les deux membres par a2, en développant et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient :

.

Nous voyons alors que a2 est racine de l'équation :

.

Cette équation admet 25 comme racine évidente. Par conséquent, on peut poser :

et l'on peut choisir a = 5.


On en déduit ensuite :

 ;
.


En reportant les valeurs trouvées de dans :

,

nous voyons que la factorisation recherchée de x4 – 20x2 – 5x + 6 est donc :

et nous avons bien retrouvé le produit de deux polynômes du second degré dont nous étions partis au début.

Principe de la méthode de Descartes[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons dans ce paragraphe généraliser ce qui a été vu dans un cas particulier au paragraphe précédent.

Soit donc à résoudre une équation de la forme :

(nous savons que toute équation de degré 4 s'y ramène).

Nous supposerons de plus que (car lorsque , l'équation est bicarrée donc facile à résoudre).

Nous allons essayer de factoriser le premier membre comme produit de deux polynômes unitaires du second degré, dont les coefficients de degré 1 sont alors nécessairement opposés. Nous écrirons donc :

.

En développant le second membre, nous obtenons :

.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système :

Nous voyons alors que est nécessairement non nul (puisque ) et ce système peut s'écrire :

Par addition et soustraction membre à membre des deux premières équations, on obtient :

En portant les valeurs trouvées de b et c des deux premières équations dans la troisième, on obtient :

La troisième équation peut alors s'écrire, en utilisant l'identité remarquable (a + b)(ab) = a2b2 :

.

En multipliant les deux membres par , en développant et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient :

.

Nous voyons alors que est racine de l'équation :

.


Soit y0, y1, y2 les trois racines de cette dernière équation. Laquelle de ces trois racines allons-nous choisir ? D'un point de vue théorique, cela n'a aucune importance. D'un point de vu pratique, nous choisirons, bien sûr, celle qui nous parait la plus sympa. Par exemple, s'il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées, nous choisirons, sauf cas particulier, la racine réelle.

Supposons, pour fixer les idées, que la racine que nous choisissons est y0. Comme a2 = y0, nous choisirons pour a l'une des deux racines carrées de y0, que nous noterons :

.

En reportant cette valeur de a dans les deux premières équations du système, nous en déduisons :


L'équation à résoudre :

,

que nous cherchions à factoriser sous la forme :

,

s'écrira par conséquent :

.

Nous nous sommes ramenés à résoudre les deux équations suivantes :

  •  ;
  • .

Ces deux équations du second degré sont les mêmes que dans la méthode de Ferrari, via le changement de paramètre . Les expressions obtenues dans la suite de cette résolution sont donc identiques à celles du chapitre précédent :

avec

.

Résumé de la méthode de Descartes[modifier | modifier le wikicode]

Ce que nous avons fait au paragraphe précédent est un peu long. Nous allons le résumer dans un encadré.

Début d’un principe


Fin du principe

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

De même que la méthode de Ferrari, celle de Descartes s'applique tout aussi bien directement[1] à une équation de la forme

,

sans la mettre au préalable sous la forme .

Le principe est le même et la méthode s'écrit alors comme suit (si , on retrouvera, aux notations près, les formules précédentes).

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : exercices 6-3 et 6-4.


On suppose que l'équation ne se ramène pas à une équation bicarrée, c'est-à-dire (cf. chapitre 3) que , et l'on cherche tels que

,

c'est-à-dire

Ceci implique

(sinon, l'équation donnerait d'où, d'après les équations et  : , ce qui est exclu par l'hypothèse ).

Le système est donc équivalent à

et l'on peut le résoudre en réduisant le nombre d'équations et d'inconnues par substitutions successives : il suffit de reporter dans les expressions de et données par et , et de trouver une solution des équations et (la nouvelle équation après ce report), puis d'en déduire et grâce à et .

Plus explicitement :

devient, en posant

et en tenant compte de  :

,

qui est une équation de degré 3 en (la résolvante) :

.

Soit l'une des trois racines de cette équation. Les solutions de

sont :

et les valeurs correspondantes de sont donc :

.

Finalement, les quatre solutions de

sont les deux solutions de et les deux solutions de , c'est-à-dire :

avec

,

ce qui donne

.





Référence[modifier | modifier le wikicode]

  1. Joseph-Alfred Serret, Cours d'algèbre supérieure, 1854, 2e éd. (1re éd. 1849) [lire en ligne], p. 242 .