Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la méthode de Descartes

Exercice 6-1

Les polynômes :

$x^{4}-23x^{2}+20x-3~$ ;

$x^{4}+2x^{2}+11x-28~$ ;

$x^{4}-8x^{2}+28x-45~$ ;

$x^{4}-48x^{2}+35x-6~$ ;

$x^{4}-33x^{2}-6x+2~$

ont été obtenus en développant un produit de deux polynômes du second degré à coefficients entiers.

Retrouver la factorisation de ces polynômes comme produits de deux polynômes du second degré à coefficients entiers, par la méthode de Descartes.

Solution

Tous calculs faits, on trouve :

$x^{4}-23x^{2}+20x-3=(x^{2}-5x+3)(x^{2}+5x-1)~$

$x^{4}+2x^{2}+11x-28=(x^{2}+x-4)(x^{2}-x+7)~$

$x^{4}-8x^{2}+28x-45=(x^{2}-2x+5)(x^{2}+2x-9)~$

$x^{4}-48x^{2}+35x-6=(x^{2}-7x+3)(x^{2}+7x-2)~$

$x^{4}-33x^{2}-6x+2=(x^{2}-6x+1)(x^{2}+6x+2)~$

 

Exercice 6-2

Résoudre par la méthode de Descartes l'équation :

$x^{4}+3x^{2}+x{\sqrt {2}}+6=0$.

Solution

Essayons de mettre l'équation :

$x^{4}+3x^{2}+x{\sqrt {2}}+6=0$

sous la forme :

$(x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+c)=0$.

En développant le premier membre, nous obtenons :

$x^{4}-(a^{2}-b-c)x^{2}-a(b-c)x+bc=0$.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système :

${\begin{cases}a^{2}-b-c=-3\\a(b-c)=-{\sqrt {2}}\\bc=6.\end{cases}}$

Nous voyons alors que ce système peut s'écrire :

${\begin{cases}b+c=a^{2}+3\\b-c=-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\\bc=6.\end{cases}}$

Par addition et soustraction membre à membre des deux premières équations, on obtient :

${\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\bc=6.\end{cases}}$

En portant les valeurs trouvées de b et c des deux premières équations dans la troisième, on obtient :

${\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\\{\frac {1}{4}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)=6\end{cases}}$

La troisième équation peut alors s'écrire, en utilisant l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² :

$(a^{2}+3)^{2}-{\frac {2}{a^{2}}}=24$.

En multipliant les deux membres par a², en développant et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient :

$a^{6}+6a^{4}-15a^{2}-2=0$.

Nous voyons alors que a² est racine de l'équation :

$y^{3}+6y^{2}-15y-2=0$.

Cette équation admet 2 comme racine évidente. Par conséquent, on peut poser :

$a^{2}=2$

et l'on peut choisir :

$a={\sqrt {2}}$.

On en déduit ensuite :

$b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3-{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2+3-{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}\right)=2$ ;

$c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+3+{\frac {\sqrt {2}}{a}}\right)={\frac {1}{2}}\left(2+3+{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}\right)=3$.

En reportant les valeurs trouvées de a, b, c dans :

$(x^{2}+ax+b)(x^{2}-ax+c)=0$,

nous voyons que l'équation que l’on devait résoudre s'écrit :

$(x^{2}+x{\sqrt {2}}+2)(x^{2}-x{\sqrt {2}}+3)=0$

et par conséquent, x vérifie l'une des deux équations du second degré suivantes :

$x^{2}+x{\sqrt {2}}+2=0$ ;

$x^{2}-x{\sqrt {2}}+3=0$.

En résolvant ces deux équations, on trouve finalement :

${\begin{cases}x_{0}={\frac {-{\sqrt {2}}+\mathrm {i} {\sqrt {6}}}{2}}\\x_{1}={\frac {-{\sqrt {2}}-\mathrm {i} {\sqrt {6}}}{2}}\\x_{2}={\frac {{\sqrt {2}}+\mathrm {i} {\sqrt {10}}}{2}}\\x_{3}={\frac {{\sqrt {2}}-\mathrm {i} {\sqrt {10}}}{2}}.\end{cases}}$

 

Exercice 6-3

Résoudre par la méthode de Descartes (cas général) l'équation :

$x^{4}-(1+2{\sqrt {2}})x^{3}+3x^{2}{\sqrt {2}}-2(3-2{\sqrt {2}})x-2(2-{\sqrt {2}})=0$,

déjà rencontrée dans l'exercice 5-3.

Solution

Essayons de mettre cette équation sous la forme :

$(x^{2}+fx+g)(x^{2}+f'x+g')=0$.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système

${\begin{cases}f+f'&=-1-2{\sqrt {2}}\\g'+g&=3{\sqrt {2}}-ff'\\fg'+f'g&=-6+4{\sqrt {2}}\\gg'&=-4+2{\sqrt {2}},\end{cases}}$

qui équivaut à

${\begin{cases}f+f'&=-1-2{\sqrt {2}}\\g'&={\frac {-6+4{\sqrt {2}}-(3{\sqrt {2}}-ff')f'}{f-f'}}\\g&={\frac {(3{\sqrt {2}}-ff')f+6-4{\sqrt {2}}}{f-f'}}\\gg'&=-4+2{\sqrt {2}}.\end{cases}}$

En portant dans la dernière équation les valeurs de $g$ et $g'$ des deux équations qui la précèdent, on obtient :

$\left[(3{\sqrt {2}}-ff')f+6-4{\sqrt {2}}\right]\left[-6+4{\sqrt {2}}-(3{\sqrt {2}}-ff')f'\right]=(f-f')^{2}(-4+2{\sqrt {2}})=\left[(f+f')^{2}-4ff'\right](-4+2{\sqrt {2}})$

ou encore, en posant $y=-ff'$ et en tenant compte de la première équation :

$0=y^{3}+6{\sqrt {2}}y^{2}+24y+16{\sqrt {2}}=(y+2{\sqrt {2}})^{3}$.

La racine (triple) de la résolvante cubique est par conséquent :

$y_{0}=-2{\sqrt {2}}$.

Les solutions $f,f'$ de

${\begin{cases}f+f'&=-1-2{\sqrt {2}}\\ff'&=2{\sqrt {2}}\end{cases}}$

sont :

$f=-2{\sqrt {2}},\quad f'=-1$

et l'on en déduit :

$g=2,\quad g'=-2+{\sqrt {2}}$.

En revenant à nos calculs initiaux, l'équation que l'on devait résoudre s'écrit alors :

$0=(x^{2}-2{\sqrt {2}}x+2)(x^{2}-x-2+{\sqrt {2}})=\left(x-{\sqrt {2}}\right)^{2}\times \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x-1+{\sqrt {2}}\right)$

et ses solutions sont donc :

$x_{0}=x_{1}=x_{2}={\sqrt {2}},\qquad x_{3}=1-{\sqrt {2}}$.

 

Exercice 6-4

Résoudre par la méthode de Descartes (cas général) l'équation :

$x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-8x-10=0$.

Solution

Essayons de mettre cette équation sous la forme :

$(x^{2}+fx+g)(x^{2}+f'x+g')=0$.

Par identification des coefficients, nous obtenons le système

${\begin{cases}f+f'&=4\\g'+g&=3-ff'\\fg'+f'g&=-8\\gg'&=-10,\end{cases}}$

qui équivaut à

${\begin{cases}f+f'&=4\\g'&={\frac {-8-(3-ff')f'}{f-f'}}\\g&={\frac {(3-ff')f+8}{f-f'}}\\gg'&=-10.\end{cases}}$

En portant dans la dernière équation les valeurs de $g$ et $g'$ des deux équations qui la précèdent, on obtient :

$\left[(3-ff')f+8\right]\left[-8-(3-ff')f'\right]=-10(f-f')^{2}=-10\left[(f+f')^{2}-4ff'\right]$

ou encore, en posant $y=-ff'$ et en tenant compte de la première équation :

$y^{3}+6y^{2}+17y=0$.

Une racine évidente est

$y_{0}=0$,

ce qui donne

$f'=0,\quad f=4,\quad g'=-2,\quad g=5$.

En revenant à nos calculs initiaux, l'équation que l'on devait résoudre s'écrit alors :

$(x^{2}+4x+5)(x^{2}-2)=0$

et ses solutions sont donc :

$x_{0}=-2+\mathrm {i} ,\quad x_{1}=-2-\mathrm {i} ,\quad x_{2}={\sqrt {2}},\quad x_{3}=-{\sqrt {2}}$.