Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la méthode de Lagrange

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Sur la méthode de Lagrange
Image logo représentative de la faculté
Exercices no7
Leçon : Équation du quatrième degré
Chapitre du cours : Méthode de Lagrange

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Sur la méthode de Descartes
Exo suiv. :Sur les résolutions trigonométriques
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Sur la méthode de Lagrange
Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la méthode de Lagrange
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 7-1[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant la méthode « de Lagrange », résoudre l'équation :

.

Exercice 7-2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit

une équation dont la résolvante de Lagrange a (comme l'équation de l'exercice 6-3) une racine triple, .

  1. Montrer que l'une des deux racines carrées de a pour cube .
  2. On note cette racine. Exprimer alors les solutions de en fonction de et montrer que cette équation a une racine (au moins) triple.
  3. Montrer que réciproquement, si une équation de degré 4 a une racine (au moins) triple alors sa résolvante de Lagrange aussi.

b) Montrer que de même, une équation de degré 4 a une racine (au moins) double si et seulement si sa résolvante de Lagrange a une racine (au moins) double.

Exercice 7-3[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que la méthode de Ferrari, dans le cas général d'une équation

,

est équivalente à la première des deux méthodes originelles de Lagrange.

Exercice 7-4[modifier | modifier le wikicode]

Dans ses deux méthodes originelles, Lagrange, considérant une équation

,

pose d'abord

,

puis se ravise et exprime les xi en fonction de

.
  1. En déduire l'expression des solutions x0, x1, x2 et x3 en fonction de u0, u1 et u2.
  2. Adapter cette étude en posant (comme dans notre pseudo-« méthode de Lagrange » de tout le début ce chapitre, mais à présent pour non nécessairement nul) :
    .

Exercice 7-5[modifier | modifier le wikicode]

Par notre méthode « de Lagrange », retrouver (cf. exercice 8-5 et chapitre 8 de la leçon sur les équations de degré 3) une équation du sixième degré à coefficients entiers ayant pour racine le nombre :

.

Exercice 7-6[modifier | modifier le wikicode]

Calculer par notre méthode « de Lagrange » les racines

du polynôme

.