Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Exercices/Vitesse terminale en chute libre

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Vitesse terminale en chute libre
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Exercices no7
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Charge d'un condensateur
Exo suiv. :Sujet de bac S
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Équation différentielle/Exercices/Vitesse terminale en chute libre
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Considérons un objet de masse m en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :

  • le poids :
  • Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v,

le coefficient de frottement est noté h, donc


Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale,

l'objectif est de donner la solution

exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t.

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire .

Cela donne pour la solution générale :

La solution finale au problème est donc :


Application numérique : Tracer v en fonction de t pour :