Équation différentielle/Exercices/Vitesse terminale en chute libre

Considérons un objet de masse m en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :

• le poids : $P=......................$
• Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v,

le coefficient de frottement est noté h, donc

$F=.......................$

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

$................=...........................$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Solution

• le poids : $P=m\times g$
• Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse v, le coefficient de frottement est noté h, donc

$F=-h\times v$

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

$mv'=-hv+mg$

 

En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale,

l'objectif est de donner la solution $v(t)$

exprimant la vitesse du corps en fonction du temps t.

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

$..................................=0$

La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

$v(t)=........................................$

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire $v(0)=.........$.

Cela donne pour la solution générale :

$...................................=...........................$

La solution finale au problème est donc :

$v(t)=................................................................$

Solution

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

$v'+{\frac {h}{m}}v-g=0$

La solution est, d’après ce qui fut rappelé précédemment, une fonction de la forme :

$v=Ae^{-{\frac {h}{m}}t}+{\frac {gm}{h}}$

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre A, qui doit alors vérifier :

$0=A+{\frac {gm}{h}}$

La solution finale au problème est donc :

$v\left(t\right)={\frac {gm}{h}}\left(1-e^{-{\frac {h}{m}}t}\right)$

 

Application numérique : Tracer v en fonction de t pour :

• $m=0,00416$
• $h=3,4\times 10^{-6}$
• $g=9,81$