Exercices de niveau 13.
On considère l'équation différentielle ( E ) : y ′ − 2 y = e 2 x {\displaystyle (E):y'-2y=e^{2x}} .
1. Démontrer que la fonction u {\displaystyle u} définie sur R {\displaystyle \mathbb {R} } par :
u ( x ) = x e 2 x {\displaystyle u(x)=xe^{2x}} est solution de ( E ) {\displaystyle (E)} .
2. Résoudre l'équation différentielle ( E 0 ) : y ′ − 2 y = 0 {\displaystyle (E_{0}):y'-2y=0} .
3. Démontrer qu'une fonction v {\displaystyle v} définie sur R {\displaystyle \mathbb {R} } est solution de ( E ) {\displaystyle (E)} si et seulement si v − u {\displaystyle v-u} est solution de ( E 0 ) {\displaystyle (E_{0})} .
4. En déduire toutes les solutions de l'équation ( E ) {\displaystyle (E)} .
5. Déterminer la fonction, solution de ( E ) {\displaystyle (E)} , qui prend la valeur 1 en 0.
1. On dérive u ( x ) = x e 2 x {\displaystyle u(x)=xe^{2x}} :
u ′ ( x ) = e 2 x + 2 x e 2 x {\displaystyle u'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}}
On a donc u ′ − 2 u = e 2 x + 2 x e 2 x − 2 x e 2 x = e 2 x {\displaystyle u'-2u=e^{2x}+2xe^{2x}-2xe^{2x}=e^{2x}} .
u {\displaystyle u} est donc bien solution de ( E ) {\displaystyle (E)} .
2. ( E 0 ) : y ′ − 2 y = 0 ⇒ y ′ = 2 y {\displaystyle (E_{0}):y'-2y=0\Rightarrow y'=2y}
⇒ y ′ y = 2 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {y'}{y}}=2} et y ≠ 0 {\displaystyle y\neq 0}
Donc y = k e 2 x {\displaystyle y=k\,e^{2x}}
3. v {\displaystyle v} est solution de ( E ) ⇔ v ′ − 2 v = e 2 x {\displaystyle (E)\Leftrightarrow v'-2v=e^{2x}}
⇔ v ′ − 2 v = u ′ − 2 u {\displaystyle \Leftrightarrow v'-2v=u'-2u}
⇔ v ′ − u ′ − 2 v + 2 u = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow v'-u'-2v+2u=0}
⇔ ( v − u ) ′ − 2 ( v − u ) = 0 {\displaystyle \Leftrightarrow (v-u)'-2(v-u)=0}
⇔ v − u {\displaystyle \Leftrightarrow v-u} est solution de ( E 0 ) {\displaystyle (E_{0})} .
4. v {\displaystyle v} est solution de ( E ) ⇔ v − u {\displaystyle (E)\Leftrightarrow v-u} est solution de ( E 0 ) {\displaystyle (E_{0})}
⇔ v − x e 2 x {\displaystyle \Leftrightarrow v-xe^{2x}} est solution de ( E 0 ) {\displaystyle (E_{0})}
⇔ v − x e 2 x = k e 2 x {\displaystyle \Leftrightarrow v-xe^{2x}=ke^{2x}}
⇔ v = ( k + x ) e 2 x {\displaystyle \Leftrightarrow v=(k+x)e^{2x}}
5. Les solutions de ( E ) {\displaystyle (E)} s'écrivent sous la forme v = ( k + x ) e 2 x {\displaystyle v=(k+x)e^{2x}} .
Or il faut v ( 0 ) = 1 ⇒ ( k + 0 ) e 0 = 1 {\displaystyle v(0)=1\Rightarrow (k+0)e^{0}=1} . Donc k = 1 {\displaystyle k=1} .
Donc v = ( x + 1 ) e 2 x {\displaystyle v=(x+1)e^{2x}}