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Équation différentielle/Exercices/Modélisation

Leçons de niveau 14
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Modélisation
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Exercices no9
Leçon : Équation différentielle

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sujet de bac S
Exo suiv. :Sommaire
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Équation différentielle/Exercices/Modélisation
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Absoption d'un médicament[modifier | modifier le wikicode]

Un médicament administré par voie orale est éliminé par la fonction rénale. On suppose que la durée d'absorption par voie orale est négligeable (à , la quantité de produit est présente dans le tube digestif).

La vitesse de passage du médicament du système digestif à la circulation sanguine est proportionnelle à la quantité de médicament restant dans le tube digestif (de constante d'absorption ).

La vitesse d'élimination du médicament par les reins est proportionnelle à la quantité présente dans le sang (de constante d'élimination ).

On note (resp. ) la quantité de médicament présent dans le tube digestif (resp. dans le sang) à l'instant .

  1. Calculer la quantité de médicament dans le tube digestif en fonction du temps.
  2. Expliquer la relation suivante : . En déduire l'expression de .
  3. Au bout de combien de temps la quantité de médicament dans le sang sera-t-elle maximale ?

Réaction chimique[modifier | modifier le wikicode]

On étudie la réaction chimique suivante :

.

La vitesse de réaction est proportionnelle aux concentrations de A et B :

.

On suppose qu'au départ, il n'y a pas de produit .

Exprimer en fonction du temps les concentrations et (on pourra chercher et réels tels que ).

Évolution d'une population[modifier | modifier le wikicode]

L'effectif (exprimé en milliers) d'une population de microbes s'accroît, pendant l'intervalle de temps , de la moitié du produit .

  1. Établir l'équation différentielle satisfaite par .
  2. On pose . Donner l'équation différentielle satisfaite par .
  3. Donner l'expression de et en déduire .
  4. Sachant que , étudier l'évolution de la population au cours du temps. En particulier, quel est l'effectif limite quand tend vers l'infini ?

Dépollution[modifier | modifier le wikicode]

Un bateau-citerne a coulé au large de la Bretagne. On souhaite alors retirer le pétrole restant dans une de ses cuves. Pour ce faire, on introduit dans la cuve une quantité de bactéries qui ont la propriété d'éliminer le pétrole. Ces bactéries se reproduisent et on note la quantité de bactéries présentes dans la cuve au temps . On suppose que l'évolution de la quantité de bactéries suit la propriété suivante :

pendant un petit intervalle de temps , la variation de quantité est proportionnelle (avec un coefficient constant ) à et la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
  1. Expliquer pourquoi satisfait l'équation différentielle . Donner alors l'expression de et tracer approximativement son graphe.
  2. Pour tout , on note le temps nécessaire pour que la quantité au temps soit le double de la quantité au temps (temps de doublement de vies). Montrer que ne dépend pas de et en donner une expression en fonction de .
  3. On suppose que le temps est exprimé en heures. On a observé qu'au bout de 3 heures, la quantité de bactéries avait doublé par rapport à la quantité de départ . Calculer alors .
  4. On suppose que . Avec la valeur de trouvée à la question précédente, calculer la durée au bout de laquelle on aura bactéries dans la cuve.
    On note la quantité de pétrole présent dans la cuve. On suppose qu'à , on avait une quantité . On suppose que l'élimination du pétrole par les bactéries se fait de la façon suivante :
    la vitesse d'élimination de la quantité de pétrole est proportionnelle (avec un coefficient constant ) à la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
  5. En utilisant cette hypothèse, donner l'expression de . En déduire alors que
    .
  6. Déterminer, en fonction de , , et , l'instant à partir duquel tout le pétrole aura disparu.

Dessalage[modifier | modifier le wikicode]

La morue est du cabillaud conservé dans du sel. Pour la consommer, il est nécessaire de la dessaler pendant quelques heures. On suppose qu'un morceau de morue contient une quantité (en grammes) de sel. On le plonge dans un volume de 3 litres d'eau pure. On note la quantité de sel présente dans le morceau de morue à l'instant (exprimé en heures). On suppose que l'évolution de est modélisée par l'équation :

,

est un réel strictement positif.

  1. Donner l'expression de .
  2. Déterminer . Commentaire ?
    Au bout de 8 heures, on décide de changer l'eau. On replonge donc le morceau de morue dans 3 litres d'eau pure.
  3. Donner l'expression de pour .
  4. On suppose que g et . Au bout de combien de temps aura-t-on une quantité de sel inférieure à g ?

Modèle de Haldane[modifier | modifier le wikicode]

(Rappels sur les pressions. En plongée, la pression ambiante (en bars) est fonction de la profondeur (en mètres) par la formule . Elle est donc de bar à m, bars à m et bar à m. L'air que nous respirons est essentiellement composé de 20 % d'oxygène (métabolisé par l'organisme) et de 80 % d'azote (diluant chimiquement inerte). La pression partielle d'azote respirée par le plongeur est donc égale à bar à m, bars à m, bar à m.)

À l'équilibre, la quantité d'azote dissous dans ses cellules (appelée tension et exprimée en bars) est égale à la pression partielle de l'azote qu'il respire. On modélise le corps du plongeur comme un ensemble de « compartiments », dont chacun regroupe diverses cellules du corps ayant les mêmes caractéristiques du point de vue de la dissolution d'azote respiré. À tout instant, pour chacun de ces compartiments, la variation instantanée de tension est proportionnelle (par une constante qui dépend du compartiment) au « gradient de tension », c'est-à-dire à la différence entre la tension d'azote dissous dans ce compartiment et la pression partielle d'azote respiré.

  1. Écrire et résoudre l'équation différentielle qui régit l'évolution de la tension à l'instant , étant données une tension initiale et une pression partielle d'azote (constante) .
  2. On appelle période du compartiment le temps nécessaire pour que le gradient soit divisé par deux. Exprimer en fonction de . En déduire
    .
  3. Calculer (au millième de bar par excès) les tensions des différents compartiments de périodes (en minutes) pour un plongeur qui (à partir de tensions initiales ) vient de séjourner à m de profondeur pendant min.
    La sursaturation est le quotient de la tension d'azote dissous par la pression (totale) ambiante : . Chaque compartiment (caractérisé par sa période ) possède également un seuil de « sursaturation critique » , au-delà duquel se produit un « dégazage incontrôlé ». Étant donnée la tension d'azote dissous, la pression ambiante doit donc rester supérieure à . Si , le plongeur ne peut donc remonter immédiatement en surface, sous peine d'accident de décompression.
  4. Pour chacun des compartiments considérés précédemment (au bout d'une immersion de min à m), donner (au centième de bar par excès) la pression ambiante « critique » puis (au décimètre par excès) la profondeur « critique » correspondante, étant donnée la liste suivante des seuils de sursaturation critique : .
  5. Pour cette plongée, quel est le compartiment « directeur » (le premier qui impose, à la remontée, un arrêt avant la surface) ? À quelle profondeur le plongeur doit-il s'arrêter (au pire) ?
  6. Par confort et sécurité, il décide de faire plutôt son arrêt (« palier ») à m, et d'attendre le temps nécessaire pour que les compartiments de période et min aient éliminé assez d'azote pour atteindre une tension inférieure ou égale à leurs coefficients de sursaturation critique respectifs (de manière à pouvoir ensuite remonter à la surface sans accident). Combien de temps doit-il patienter ? (On néglige la durée de la remontée remontée de m à m, et la variation de tension au cours de cette remontée). Que remarquez-vous sur le compartiment directeur ?