En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Modélisation
Équation différentielle/Exercices/Modélisation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un médicament administré par voie orale est éliminé par la fonction rénale. On suppose que la durée d'absorption par voie orale est négligeable (à
, la quantité
de produit est présente dans le tube digestif).
La vitesse de passage du médicament du système digestif à la circulation sanguine est proportionnelle à la quantité de médicament restant dans le tube digestif (de constante d'absorption
).
La vitesse d'élimination du médicament par les reins est proportionnelle à la quantité présente dans le sang (de constante d'élimination
).
On note
(resp.
) la quantité de médicament présent dans le tube digestif (resp. dans le sang) à l'instant
.
- Calculer la quantité de médicament dans le tube digestif en fonction du temps.
- Expliquer la relation suivante :
. En déduire l'expression de
.
- Au bout de combien de temps la quantité de médicament dans le sang sera-t-elle maximale ?
On étudie la réaction chimique suivante :
.
La vitesse de réaction est proportionnelle aux concentrations de A et B :
.
On suppose qu'au départ, il n'y a pas de produit
.
Exprimer en fonction du temps les concentrations
et
(on pourra chercher
et
réels tels que
).
Solution
Notons
et
les quantités des réactifs A et B au début de la réaction. Soit
la quantité de produit
qui s'est formée à l'instant
. Une quantité
de réactif A a été utilisée donc il en reste
. De même, il reste une quantité
de réactif B. Si l'on suppose que la réaction se fait à volume constant, on aura les mêmes relations entre les concentrations : notons
et
les concentrations des réactifs A et B au début de la réaction et
la concentration de produit
à l'instant
. Alors
et
. L'équation différentielle vérifiée par la fonction
est donc
.
![{\displaystyle X'(t)=k(\alpha _{0}-2X(t))(\beta _{0}-3X(t))\Leftrightarrow {X'(t) \over (\alpha _{0}-2X(t))(\beta _{0}-3X(t))}=k\Leftrightarrow {X'(t) \over (2X(t)-\alpha _{0})(3X(t)-\beta _{0})}=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ada92815d0098c944b736e0c578b754e1c40713)
Reprenons l'équation différentielle.
est solution si et seulement si
On dispose comme condition initiale de
. On en déduit
et finalement
.
L'effectif
(exprimé en milliers) d'une population de microbes s'accroît, pendant l'intervalle de temps
, de la moitié du produit
.
- Établir l'équation différentielle satisfaite par
.
- On pose
. Donner l'équation différentielle satisfaite par
.
- Donner l'expression de
et en déduire
.
- Sachant que
, étudier l'évolution de la population au cours du temps. En particulier, quel est l'effectif limite quand
tend vers l'infini ?
Solution
- On traduit l'énoncé : l'accroissement de la population entre les instants
et
, soit
est égal à
d'où, en divisant les deux termes par
:
qui devient, en faisant tendre
vers 0 :
.
- On a
d'où en dérivant,
. On reporte dans l'équation différentielle.
On obtient
soit en multipliant les deux membres par
:
, soit
.
- C'est une équation linéaire d'ordre 1 à coefficients constants. Les solutions de l'équation sont
. On remarque que
est une solution particulière de l'équation avec second membre. On en déduit que les solutions de
sont
. Les solutions de
sont donc
soit
.
- Si l'on a comme condition initiale
, on en déduit
, soit
. L'effectif de la population au cours du temps est
. Pour étudier les variations de l'effectif, on dérive la fonction.
donc la fonction est croissante et
.
L'effectif limite est égal à la capacité maximale supportée par le milieu. C'est ce qu'exprime le modèle de croissance : le taux de croissance de la population augmente si l'effectif augmente (plus de reproducteurs) mais diminue si l'effectif approche du seuil (100) autorisé par les capacités nutritives du milieu.
Un bateau-citerne a coulé au large de la Bretagne. On souhaite alors retirer le pétrole restant dans une de ses cuves. Pour ce faire, on introduit dans la cuve une quantité
de bactéries qui ont la propriété d'éliminer le pétrole. Ces bactéries se reproduisent et on note
la quantité de bactéries présentes dans la cuve au temps
. On suppose que l'évolution de la quantité de bactéries suit la propriété suivante :
- pendant un petit intervalle de temps
, la variation de quantité
est proportionnelle (avec un coefficient constant
) à
et la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
- Expliquer pourquoi
satisfait l'équation différentielle
. Donner alors l'expression de
et tracer approximativement son graphe.
- Pour tout
, on note
le temps nécessaire pour que la quantité au temps
soit le double de la quantité au temps
(temps de doublement de vies). Montrer que
ne dépend pas de
et en donner une expression en fonction de
.
- On suppose que le temps
est exprimé en heures. On a observé qu'au bout de 3 heures, la quantité de bactéries avait doublé par rapport à la quantité de départ
. Calculer alors
.
- On suppose que
. Avec la valeur de
trouvée à la question précédente, calculer la durée
au bout de laquelle on aura
bactéries dans la cuve.
- On note
la quantité de pétrole présent dans la cuve. On suppose qu'à
, on avait une quantité
. On suppose que l'élimination du pétrole par les bactéries se fait de la façon suivante :
- la vitesse d'élimination de la quantité de pétrole est proportionnelle (avec un coefficient constant
) à la quantité de bactéries présentes dans la cuve.
- En utilisant cette hypothèse, donner l'expression de
. En déduire alors que
.
- Déterminer, en fonction de
,
,
et
, l'instant à partir duquel tout le pétrole aura disparu.
Solution
- Pendant un petit intervalle de temps
,
soit
d'où en faisant tendre
vers 0,
.
On en déduit que
. En utilisant la condition initiale
, on obtient
.
.
donc
.
- L'effectif initial est de
donc l'effectif de bactéries est donné par
. On aura
si
, soit
.
- L'énoncé se traduit par
. (Le signe
vient du fait qu'il s'agit d'une vitesse d'élimination et que
.) On remplace
par son expression :
. On intègre terme à terme :
d'où, en utilisant la condition initiale
:
soit
donc
.
- L'exponentielle étant une fonction croissante et
,
est décroissante. On vérifie facilement que
tend vers
quand
tend vers
.
.
Après cet instant, le modèle n'a plus aucun sens.
La morue est du cabillaud conservé dans du sel. Pour la consommer, il est nécessaire de la dessaler pendant quelques heures. On suppose qu'un morceau de morue contient une quantité
(en grammes) de sel. On le plonge dans un volume de 3 litres d'eau pure. On note
la quantité de sel présente dans le morceau de morue à l'instant
(exprimé en heures). On suppose que l'évolution de
est modélisée par l'équation :
,
où
est un réel strictement positif.
- Donner l'expression de
.
- Déterminer
. Commentaire ?
Au bout de 8 heures, on décide de changer l'eau. On replonge donc le morceau de morue dans 3 litres d'eau pure.
- Donner l'expression de
pour
.
- On suppose que
g et
. Au bout de combien de temps aura-t-on une quantité de sel inférieure à
g ?
Solution
- Les solutions de l'équation homogène sont
. Comme
est une solution particulière, les solutions de l'équation différentielle sont
. Il reste à utiliser la condition initiale
. On en déduit que
.
donc la morue ne dessale pas.
- Au bout de 8 heures, la quantité de sel restante est de
. On change l'eau, ce qui revient à reconsidérer le même modèle avec une nouvelle condition initiale (et une translation dans le temps). La quantité de sel sera alors donnée par
.
(La quantité de sel dans la morue tendra donc vers
quand
tend vers
: la morue sera un peu mieux dessalée.)
![{\displaystyle 4{,}5\geq S(t)=4(1+\operatorname {e} ^{-4})(1+\operatorname {e} ^{-0{,}5t+4})\Leftrightarrow 1+\operatorname {e} ^{-0{,}5t+4}\leq {4{,}5 \over 4(1+\operatorname {e} ^{-4})}\Leftrightarrow -0{,}5t+4\leq \ln \left({4{,}5 \over 4(1+\operatorname {e} ^{-4})}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02a485227140bff7c953c8cd694a25a5fa0a35d)
.
(Rappels sur les pressions. En plongée, la pression ambiante
(en bars) est fonction de la profondeur
(en mètres) par la formule
. Elle est donc de
bar à
m,
bars à
m et
bar à
m. L'air que nous respirons est essentiellement composé de 20 % d'oxygène (métabolisé par l'organisme) et de 80 % d'azote (diluant chimiquement inerte). La pression partielle d'azote
respirée par le plongeur est donc égale à
bar à
m,
bars à
m,
bar à
m.)
À l'équilibre, la quantité d'azote
dissous dans ses cellules (appelée tension et exprimée en bars) est égale à la pression partielle de l'azote qu'il respire. On modélise le corps du plongeur comme un ensemble de « compartiments », dont chacun regroupe diverses cellules du corps ayant les mêmes caractéristiques du point de vue de la dissolution d'azote respiré. À tout instant, pour chacun de ces compartiments, la variation instantanée de tension est proportionnelle (par une constante
qui dépend du compartiment) au « gradient de tension », c'est-à-dire à la différence entre la tension d'azote dissous dans ce compartiment et la pression partielle d'azote respiré.
- Écrire et résoudre l'équation différentielle qui régit l'évolution de la tension
à l'instant
, étant données une tension initiale
et une pression partielle d'azote (constante)
.
- On appelle période
du compartiment le temps nécessaire pour que le gradient soit divisé par deux. Exprimer
en fonction de
. En déduire
.
- Calculer (au millième de bar par excès) les tensions
des différents compartiments de périodes
(en minutes) pour un plongeur qui (à partir de tensions initiales
) vient de séjourner à
m de profondeur pendant
min.
- La sursaturation est le quotient de la tension d'azote dissous par la pression (totale) ambiante :
. Chaque compartiment (caractérisé par sa période
) possède également un seuil de « sursaturation critique »
, au-delà duquel se produit un « dégazage incontrôlé ». Étant donnée la tension
d'azote dissous, la pression ambiante
doit donc rester supérieure à
. Si
, le plongeur ne peut donc remonter immédiatement en surface, sous peine d'accident de décompression.
- Pour chacun des compartiments considérés précédemment (au bout d'une immersion de
min à
m), donner (au centième de bar par excès) la pression ambiante « critique »
puis (au décimètre par excès) la profondeur « critique »
correspondante, étant donnée la liste suivante des seuils
de sursaturation critique :
.
- Pour cette plongée, quel est le compartiment « directeur » (le premier qui impose, à la remontée, un arrêt avant la surface) ? À quelle profondeur le plongeur doit-il s'arrêter (au pire) ?
- Par confort et sécurité, il décide de faire plutôt son arrêt (« palier ») à
m, et d'attendre le temps nécessaire pour que les compartiments de période
et
min aient éliminé assez d'azote pour atteindre une tension inférieure ou égale à leurs coefficients de sursaturation critique respectifs (de manière à pouvoir ensuite remonter à la surface sans accident). Combien de temps doit-il patienter ? (On néglige la durée de la remontée remontée de
m à
m, et la variation de tension au cours de cette remontée). Que remarquez-vous sur le compartiment directeur ?
Solution
se réécrit
donc a pour solution
, soit :
.
donc
et en remplaçant
dans l'expression précédente de
:
.
donc
.
donc
. Or
(ou
si
), d'où
m,
m,
m.
,
m.
- Pour chacun des compartiments, la tension après
min de palier à
m vaut (cf. question 2)
. Elle atteint donc la valeur
pour
, donc pour
,
tandis que pour
,
(par excès). Le plongeur doit donc faire un palier de
min à
m. Cette durée est imposée par le compartiment de période
min, qui est devenu directeur pendant le palier.