Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre

Notations et définitions

Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants avec second membre est de la forme :

$(E)$ : $\ af''+bf'+cf=d(t)$

On suppose que $a$ n’est pas nul et que $d$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Remarques :

• Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques décrivant des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
• Néanmoins on utilisera la lettre $t$ comme variable dans ce chapitre.

Exemples

1. $y''+y'-2y=t-1$
2. $y''+4y=\sin(t)$

Équation homogène associée

Définition

L’équation homogène associée (équation sans second membre) à $(E)$ est :

$(E_{0})$ : $\ af''+bf'+cf=0$

Espace vectoriel

L'ensemble des solutions de $(E_{0})$ est un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

Équation caractéristique

Définition

L'équation $ar^{2}+br+c=0$ est l'équation caractéristique de $(E_{0})$. Elle est notée $(E_{C})$

Exemples

Donner les équations caractéristiques $(E_{C})$ des équations différentielles homogènes suivantes :

• $(E_{1}):y''+y'-2y=0$
• $(E_{2}):y''+4y'=0$

Solution

• $(E_{c_{1}}):r^{2}+r-2=0$

Dont les solutions sont : $r=-2$ et $r=1$

• $(E_{c_{2}}):r^{2}+4r=0$

Dont les solutions sont : $r=-4$ et $r=0$

 

Résolution

On suppose ici que les coefficients $a,b,c$ sont réels, et l'on cherche les fonctions à valeurs réelles qui sont solutions de $(E_{0})$.

Début d’un théorème

Théorème

Une solution générale de $(E_{0})$ s'écrit différemment selon les solutions de l'équation caractéristique $(E_{C})$ :

• Si $\Delta >0$, les solutions $r_{1}$ et $r_{2}$ de $(E_{C})$ sont des nombres réels et la solution générale de $(E_{0})$ est :

  $f(t)=A\operatorname {e} ^{r_{1}t}+B\operatorname {e} ^{r_{2}t},\quad A,B\in \mathbb {R}$

• Si $\Delta =0$, la solution unique $r$ de $(E_{C})$ est un nombre réel et la solution générale de $(E_{0})$ est :

  $f(t)=(At+B)\operatorname {e} ^{rt},\quad A,B\in \mathbb {R}$

• Si $\Delta <0$, les solutions $c_{1}$ et $c_{2}$ de $(E_{C})$ sont des nombres complexes conjugués non réels de la forme $\alpha +\beta \mathrm {i}$ et $\alpha -\beta \mathrm {i}$ et la solution générale de $(E_{0})$ est :

  $f(t)=\left(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)\right)\operatorname {e} ^{\alpha t},\quad C,D\in \mathbb {R}$

Fin du théorème

Équation avec second membre

Début d’un théorème

Théorème

L'ensemble des solutions de l'équation complète $(E)$ s'obtient en ajoutant une solution particulière $(E_{p})$ de cette même équation à la solution générale de l'équation sans second membre $(E_{0})$.

Autrement dit :

$S_{(E)}=E_{0}+E_{p}$

Avec :

• $E_{0}$ : solution générale de l'équation sans second membre

• $E_{p}$ : solution particulière de l'équation complète

Fin du théorème

Remarque : Le problème revient à trouver une solution particulière de $(E)$, ce qui n’est pas toujours évident.

Cas particulier où $d(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}P(t)$

Début d’un théorème

Théorème

Dans le cas où :

$(E):af''+bf'+cf=\operatorname {e} ^{\lambda t}P(t)$

où $P$ est un polynôme, il existe une solution particulière de la forme :

$f(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}Q(t)$

où $Q$ est un polynôme, avec :

• si $\lambda$ n’est pas solution de l'équation caractéristique, le degré de $Q$ est le même que celui de $P$

• si $\lambda$ est solution simple de l'équation caractéristique, le degré de $Q$ est celui de $P$ auquel on ajoute 1. Dans ce cas : $\deg(Q)=\deg(P)+1$

• si $\lambda$ est solution double de l'équation caractéristique, le degré de $Q$ est celui de $P$ auquel on ajoute 2. Dans ce cas : $\deg(Q)=\deg(P)+2$

Fin du théorème

Démonstration

Par changement de fonction $f(t)=\operatorname {e} ^{\lambda t}Q(t)$,

$(E)\Leftrightarrow a\left(Q''+2\lambda Q'+\lambda ^{2}Q\right)\operatorname {e} ^{\lambda t}+b\left(Q'+\lambda Q\right)\operatorname {e} ^{\lambda t}+c\operatorname {e} ^{\lambda t}Q=\operatorname {e} ^{\lambda t}P$

$\Leftrightarrow aQ''+\left(2a\lambda +b\right)Q'+\left(a\lambda ^{2}+b\lambda +c\right)Q=P\quad \left(E'\right)$.

Montrons, par un raisonnement analogue à celui vu en exercice dans le cas du premier ordre, qu'il existe au moins une solution $Q$ polynomiale (et en général une seule, de même degré que $P$).

Soit $n:=\deg P$.

• Si $a\lambda ^{2}+b\lambda +c\neq 0$ (c'est-à-dire si $\lambda$ n'est pas solution de l'équation caractéristique), l'application $T:\mathbb {R} [X]\to \mathbb {R} [X],\;Q\mapsto aQ''+\left(2a\lambda +b\right)Q'+\left(a\lambda ^{2}+b\lambda +c\right)Q$ est linéaire et préserve le degré donc est bijective. $P$ a donc un unique antécédent $Q$ par $T$, et son degré est $n$.
• Si $a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0$ mais $2a\lambda +b\neq 0$ (c'est-à-dire si $\lambda$ est racine simple de l'équation caractéristique), l'application $U:\mathbb {R} [X]\to \mathbb {R} [X],\;R\mapsto aR'+\left(2a\lambda +b\right)R$ est linéaire et préserve le degré donc est bijective. Il existe donc un unique polynôme $R$ tel que $U(R)=P$, et son degré est $n$. En l'intégrant, on obtient un polynôme $Q$ solution de $\left(E'\right)$, de degré $n+1$ (on peut même choisir son terme constant, par exemple 0).
• Si $a\lambda ^{2}+b\lambda +c=2a\lambda +b=0$ (c'est-à-dire si $\lambda$ est racine double de l'équation caractéristique), l'équation devient $Q''={\frac {1}{a}}P$ et ses solutions, qui s'obtiennent en intégrant ${\frac {1}{a}}P$ deux fois de suite, sont donc des polynômes de degré $n+2$ (et il en existe un sans terme constant ni terme de degré 1).

Remarquons que dans les deux premiers de ces trois cas, $\left(E'\right)$ a également des solutions $Q$ non polynomiales, d'après la forme générale des solutions $f$ de $(E)$.

 

Remarque

Ce cas inclut, pour $\lambda =0$, le cas d'un second membre simplement polynomial.

Ce cas inclut également les fonctions trigonométriques.

En effet, $\sin(t)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$ et $\cos(t)=\operatorname {Re} \left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}\right)$.

Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

Exemple

Déterminer une solution générale de $(E)$ :

$y''+3y'+2y=3t+7$

Solution

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+3y'+2y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+3r+2=0\Leftrightarrow (r+1)(r+2)=0$ (en voyant que -1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=-1$ ou $r=-2$

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{-t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t},\;(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$

• Recherche d'une solution particulière à l'équation complète : $y''+3y'+2y=3t+7$

On cherche une solution particulière sous la forme $y_{1}=at+b$

$y_{1}'=a$ et $y_{1}''=0$

Donc $y_{1}''+3y_{1}'+2y_{1}=3t+7\Leftrightarrow 3a+2at+2b=3t+7$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}2a=3\\3a+2b=7\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}a={\frac {3}{2}}\\b={\frac {5}{4}}.\end{cases}}$

Une solution particulière est donc $y_{1}={\frac {3}{2}}t+{\frac {5}{4}}$

Donc $y=\lambda \operatorname {e} ^{-t}+\mu \operatorname {e} ^{-2t}+{\frac {3}{2}}t+{\frac {5}{4}},\,(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$

 

La condition initiale

• L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.

• Le sens physique de cette remarque est très intuitif :

- un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction $f$

- pour déterminer cette fonction, il faut donner par exemple une position initiale $f(0)$ et une vitesse initiale $f'(0)$.

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Début d’un théorème

Théorème de Cauchy

Soit une valeur de la variable $x_{0}$, deux valeurs $y_{0}$ et $z_{0}$ étant données.

Il existe une unique solution à une équation différentielle linéaire d'ordre 2 vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$ et $f$ $'(x_{0})=z_{0}$

Fin du théorème

Exemple

Déterminer la solution de $(E)$ vérifiant les conditions initiales données :

$(E):y''+4y'-5y=10$

$f(0)=4$

$f'(0)=0$

Solution

L'équation est sous forme normale.

• Équation sans second membre (ou équation homogène associée) : $y''+4y'-5y=0$

Équation caractéristique :

$r^{2}+4r-5=0\Leftrightarrow (r-1)(r+5)=0$ (en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

$\Leftrightarrow r=1$ ou $r=-5$

Donc $y=\lambda e^{t}+\mu e^{-5t},(\lambda ;\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$

• Recherche d'une solution particulière de l'équation complète :

$y''+4y'-5y=10$

$y=-{\frac {10}{5}}$ est solution constante évidente.

Donc $y$ est de la forme :

$y=\lambda e^{t}+\mu e^{-5t}-2\,,\,(\lambda ;\mu )\in \mathbb {R} ^{2}$

• Détermination de $\lambda$ et de $\mu$ :

${\begin{cases}f(0)=4\\f'(0)=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\lambda +\mu -2=4\\\lambda -5\mu =0\end{cases}}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases}\mu =1\\\lambda =5\end{cases}}$

Donc $y=5e^{t}+e^{-5t}-2$