Topologie générale/Connexité

**Connexité**
Leçon : Topologie générale

Chapitre n^o10
Chap. préc. :	Axiomes de séparation
Chap. suiv. :	Compacité

La connexité formalise la notion intuitive d'espace en un seul morceau. Un intervalle compact de $\R$ est connexe, mais la réunion de deux intervalles compacts disjoints ne l'est pas.

Sommaire

1 Espaces et ensembles connexes
2 Composantes connexes et connexité locale
- 2.1 Composante connexe
- 2.2 Connexité locale
3 Connexité par arcs
- 3.1 Définitions et premières propriétés
- 3.2 Notion de composante connexe par arcs

[modifier] Espaces et ensembles connexes

L'espace vert est connexe alors que l'espace bleu ne l'est pas

Définition : Espace connexe

Un espace topologique $E$ est connexe si les seules parties de $E$ à la fois ouvertes et fermées sont $E$ et $\scriptstyle \emptyset$ .

Une autre condition équivalente est : $E$ est connexe si toute décomposition $E = U \cup V$ , où $U, V \subset E$ sont des ouverts disjoints, implique qu'ou $U$ , ou $V$ , est l'ensemble vide.

Exemple

La droite numérique est connexe, alors que la droite rationnelle ne l'est pas.

Définition : Ensemble connexe

Une partie $A$ d'un espace topologique $E$ est dite connexe si le sous-espace $A$ de $E$ est connexe

Exemple

Les parties connexes de $\R$ sont les intervalles.
Dans un espace topologique quelconque, l'ensemble vide et tout espace réduit à un point sont connexes.

Proposition

Si $A$ est un ensemble connexe, alors tout ensemble $B$ tel que $A \subset B \subset \overline{A}$ est connexe. (Voir la définition d'adhérence)

Proposition

La réunion d'une famille d'espace connexes, dont l'intersection est non vide, est connexe.

La réunion d'espace connexes n'est pas généralement connexe : les intervalles $[0,1]$ et $[2,3]$ le sont mais leur réunion ne l'est pas.

Proposition

Soit $A$ partie d'un espace topologique $E$ . Si $B$ est une partie connexe de $E$ tel que $B \cap A \neq \emptyset$ et $B \cap \complement A \neq \emptyset$ ( $B$ rencontre $A$ et son complémentaire) alors $B$ rencontre la frontière de $A$ .

Corollaire

Dans un espace topologique $E$ , toute ensemble non vide et distinct de $E$ adment au moins un point frontière.

[modifier] Composantes connexes et connexité locale

[modifier] Composante connexe

Nous avons vu que la réunion d'espaces connexes dont l'intersection est non vide est connexe. La réunion des parties connexes contenant un point $x$ d'un espace topologique $E$ l'est donc : c'est la plus grande partie connexe de $E$ contenant $x$ .

Définition : Composante connexe

On appelle composante connexe d'un point $x \in E$ , $E$ espace topologique, la plus grande partie connexe de $E$ (au sens de l'inclusion) contenant ce point. On note $C_x$ cet ensemble. On appelle composantes connexes d'une partie de $E$ les composantes connexes des points de cette partie.

Exemples

$\R^*$ a deux composantes connexes : $\R_+^*$ et $\R_-^*$ .
$\mathcal GL_n (\R)$ , l'ensemble des matrices inversibles de taille $n$ , admet deux composantes connexes données par le signe du déterminant.
Dans $\N$ et plus généralement dans tout espace discret, les composantes connexes sont les singletons.

On dit qu'un espace est totalement discontinu si la composante connexe de chacun de ses points est l'ensemble réduit à ce point. En particulier, un ensemble discret est totalement discontinu.

Exemples

$\N$ est totalement discontinu.
L'ensemble (triadique) de Cantor est totalement discontinu.

Proposition

Dans un espace topologique $E$ , la composante connexe d'une point quelconque est un ensemble fermé. La relation « y appartient à $C_x$ » définie une relation d'équivalence $\mathcal R$ dans $E$ , donc les classes d'équivalences sont les composantes connexes de $E$ . De plus, l'espace quotient $E/ \mathcal R$ est totalement discontinu.

Ainsi, tout espace topologique se décompose en une union disjointe de parties connexes maximales (pour l'inclusion).

Proposition

Dans un espace produit $\scriptstyle E = \prod_{i \in I} E_i$ , la composante connexe d'un point $x$ est le produit des composantes connexes des points $x_i$ dans les espaces $E_i$ .

[modifier] Connexité locale

Dans un espace topologique, V est un voisinage de p et contient un voisinage connexe de p (le disque vert fonçé)

Définition

Un espace topologique $E$ est dit localement connexe si tout point de $E$ possède un système fondamentale de voisinages connexes.

Connexe n'implique pas localement connexe, et localement connexe n'implique pas connexe !

Proposition

Un espace topologique $E$ est localement connexe si et seulement si toute composante connexe d'un ensemble ouvert de $E$ est un ouvert de $E$ .

Exemples

$\R$ , $\C$ , $\R^n$ sont des espaces connexes et localement connexes.
$[0,1] \cup [2,3]$ est localement connexe mais non connexe.
On considère la partie $A = (\{0\} \times \mathbb{R}) \cup (\R \times \mathbb Q)$ de $\R^2$ . Elle est connexe mais non localement connexe : tout point de $A$ admet un voisinage connexe, à savoir $A$ , mais non une base de voisinages connexes.
Le graphe de la fonction $x \mapsto sin(1/x)$ définie sur $\R^*$ est connexe mais non localement connexe.
Son adhérence est elle aussi connexe, et nous verrons par la suite qu'elle admet deux composantes « connexes par arcs », à savoir le graphe et l'ensemble $\{ (0,x) , x \in [0,1] \}$ .

Corollaire

Soit $U$ un ensemble ouvert d'un espace localement connexe $E$ et $V$ une composante connexe de $U$ . Alors la frontière de $V$ est contenu dans la frontière de $V$ .

Proposition

Tout espace quotient d'un espace localement connexe est localement connexe.

Proposition

Tout espace produit d'espaces localement connexes est localement connexe.

[modifier] Connexité par arcs

[modifier] Définitions et premières propriétés

Définition : chemin

Soit $E$ un espace topologique et $x$ , $y$ deux points de $E$ . On appelle chemin d'origine $x$ et d'extrémité $y$ toute application continue $\gamma : [0,1] \rightarrow E$ telle que $\gamma (0) = x$ et $\gamma (1) = y$ .

On dit que $x$ et $y$ sont reliés s'il existe un chemin d'origine $x$ et d'extrémité $y$ dans $E$ .

Proposition

La relation « x est relié à y » est une relation d'équivalence dans $E$ .

Démonstration

réflexivité : pour tout $\scriptstyle x \in E$ , $x$ est relié à $x$ par le chemin constant égal à $x$ ;
symétrie : si $x$ est relié à $y$ par un chemin $\gamma$ , alors $y$ est reliée à $x$ par le chemin $\overline{\gamma} : t \mapsto \gamma (1-t)$ ;
transitivité : si $x$ est relié à $y$ par $\gamma_1$ et $y$ est relié à $z$ par $\gamma_2$ alors $x$ est relié à $z$ par $\gamma : t \mapsto \begin{cases} \gamma_1(2t) & t < 1/2 \\ \gamma_2 (2t -1) & t \geq 1/2 \end{cases}$