Topologie générale/Adhérence, intérieur

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Adhérence, intérieur

Chapitre no4
Leçon : Topologie générale
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Chap. suiv. :	Espace métrique

   

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Adhérence d'un espace topologique

Début d'une définition

Définition : Adhérence

Un point $x$ est adhérent à un ensemble $A$ inclus dans un espace topologique $E$ si tout voisinage de $x$ rencontre $A$. L'adhérence de $A$ notée $\bar{A}$ est l'ensemble des points adhérents à $A$. On l'appelle aussi fermeture.

Fin de la définition

On peut aussi définir l'adhérence de $A$ comme le plus petit ensemble fermé contenant $A$.

Début d'un théorème

Proposition

Soit $A$ et $B$ deux parties de $E$ espace topologique. Alors :

• $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}$
• $A \cap \bar{B} \subset \overline{A \cap B}$
• l'adhérence est idempotente :

$\overline{\bar{A}} = \bar{A}$

• $A \subset \bar{A}$

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

• Pour la topologie usuelle, on a $\overline{]0,1[}=\overline{[0;1[}=[0,1]$. De plus, $\overline{\Q}=\R$ et $\overline{\R \setminus \Q}=\R$.
• En topologie discrète, seuls les points de $A$ sont adhérent à $A$.
• En topologie grossière, si $A$, partie de $E$ epace topologique, est non vide alors $\bar{A} = E$.

Fin de l'exemple

Intérieur

Début d'une définition

Définition : Intérieur

Soit $E$ un espace topologique. Un point $x$ est intérieur à $A$, partie de $E$, si $A$ est un voisinage de $x$. On appelle intérieur de $A$ l'ensemble des points intérieurs à $A$ et on le note $\stackrel{\ \circ}{A}$ ou $int(A)$.

Fin de la définition

C'est aussi le plus grand ouvert inclus dans $A$.

Début d'un théorème

Proposition

Soit $A$ et $B$ deux ensembles. Alors :

• l'intérieur de $A \cap B$ est l'intersection de $\stackrel{\ \circ}{A}$ et $\stackrel{\ \circ}{B}$
• le complémentaire de $\bar{A}$ est l'intérieur du complémentaire de $A$
• l'intérieur est idempotent :

$\stackrel{\ \circ}{A} = \stackrel{\ \circ}{\stackrel{\ \circ}{A}}$

• $\stackrel{\ \circ}{A} \subset A$
• si $A$ est inclus dans $B$ alors l'intérieur de $A$ est inclus dans l'intérieur de $B$

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

• $int(\emptyset) = \emptyset$
• $int(\Q) = \emptyset$
• Pour la topologie usuelle, l'intérieur de $[0,1]$ est $]0,1[$, pour la topologie grossière, c'est $\emptyset$
• L'intérieur d'un ensemble peut être vide. C'est le cas pour un singleton qui n'est pas ouvert : par exemple $\{42\}$ dans $\R$

Fin de l'exemple

Propriétés supplémentaires

Début d'un théorème

Proposition

Un ensemble est fermé si et seulement s'il est égal à son adhérence.

Un ensemble est ouvert si et seulement s'il est égal à son intérieur.

Fin du théorème

Début d'une définition

Définition : Frontière

On appelle frontière de $A$ l'ensemble des points inclus dans l'adhérence de $A$ et l'adhérence de son complémentaire. On note $\partial A$ ou $Fr(A)$ cet ensemble.

Fin de la définition

D'autres définitions sont possibles :

• $\partial S = \bar{S}\setminus \stackrel{\circ}{S}$
• l'ensemble des points frontières de $A$ est l'ensemble des points dont tout voisinage recoupe $A$ et son complémentaire.

Début d'un théorème

Propriétés de la frontière

• La frontière d'un ensemble est un fermé
• La frontière d'un ensemble est celle de son complémentaire
• Un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
• Un ensemble est à la fois ouvert et fermé (voir Connexité) si et seulement si sa frontière est vide

Fin du théorème