Application (mathématiques)/Application caractéristique
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| Chapitre 5 | |||
| Leçon : Application (mathématiques) | |||
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| Chap. préc. : | Famille | ||
| Chap. suiv. : | Applications particulières | ||
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Soient E et F deux ensembles quelconques. Soient f et g deux applications quelconques de E dans F. Dès lors que l'ensemble F est muni d'une addition ou d'une multiplication, il est possible de définir la somme des applications f et g, comme l'application de E dans F, qui à un élément x de E associe f(x)+g(x) et le produit des applications f et g, comme l'application de E dans F qui à un élément x de E associe, f(x).g(x).
Considérons l'ensemble {0, 1} et munissons cet ensemble d'une addition et d'une multiplication définies par
| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| × | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Définition :
Nous convenons de poser -1=1 et -0=0.
Pour x dans {0, 1}, et pour tout entier relatif n, notons
(|n| désigne la valeur absolue de n)
Proposition :
Soit E un ensemble quelconque, f et g deux applications de 
et n un entier relatif. Les applications f+g, f.g et n.f définies par
.
appartiennent à .
Théorème :
Soit E un ensemble quelconque. L'application χ qui à une partie A de E associe l'application caractéristique de A est bijective de 
dans .
Corollaire :
Deux parties A et B de E sont égales si et seulement si leurs applications caractéristiques sont égales.
Propriétés :
Soient A et B deux parties d'une ensemble quelconque E. Nous avons les égalités suivantes :
- Si les parties A et B sont disjointes alors
- χAΔB = χA + χB − 2χAχB = (χA − χB)2 = χA − χB
