Topologie générale/Espace topologique

**Espace topologique**
Leçon : Topologie générale

Chapitre n^o1
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Chap. suiv. :	Sous-espace topologique

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Topologie générale/Espace topologique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans cette partie, on définit la notion de topologie sur un ensemble et d'espace topologique. On donne par ailleurs quelques exemples fondamentaux.

[modifier] Introduction

De la même manière qu'en algèbre générale, les notions de groupes, d'anneaux et de corps généralisent ce que nous savons de l'addition des réels à des structures plus abstraites, voire exotiques, la structure d'espace topologique permet de généraliser celle d'espace euclidien à des objets mathématiques de nature totalement différente (espace de nombres, espaces fonctionnels…) L'intuition géométrique joue un grand rôle en topologie, bien qu'il faille toujours se méfier des dessins (dont la pertinence est limitée quand il s'agit de représenter des espaces de dimension infinie).

On définit donc la structure de base de la topologie : l'espace topologique, défini comme la donnée d'un ensemble $X$ , et d'une topologie sur $X$ , c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles de $X$ vérifiant certaines propriétés, dont les éléments sont appelés ouverts. Intuitivement, un ouvert correspond à un ensemble qui ne contient pas sa « frontière ».

[modifier] Définition fondamentales

Définition : Espace topologique

Un espace topologique est un couple $(X, \mathcal{T})$ , où $\mathcal{T}$ est une partie de l'ensemble $\mathcal{P}(X)$ des parties de $X$ , vérifiant les trois propriétés :

Les ensembles $\emptyset$ et $X$ sont dans $\mathcal{T}$
La réunion d'une famille quelconque d'éléments de $\mathcal{T}$ est encore dans $\mathcal{T}$
L'intersection d'une famille finie d'éléments de $\mathcal{T}$ est encore dans $\mathcal{T}$

$\mathcal{T}$ s'appelle la topologie associée à l'espace topologique $(X, \mathcal{T})$ . La plupart du temps, la topologie est sous-entendue, si bien qu'on commettra l'abus de confondre $X$ et $(X,\mathcal{T})$ .

Les éléments de $\mathcal{T}$ sont appelés les ouverts.

Définition : Fermés

Pour un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ donné, on appelle fermé de $X$ toute partie qui est le complémentaire dans $X$ d'un ouvert, c'est-à-dire d'un élément de $\mathcal{T}$ .

Ils vérifient donc les propriétés suivantes :

Les ensembles $\emptyset$ et $X$ sont des fermés
L'intersection d'une famille quelconque de fermés est fermée
La réunion d'une famille finie de fermés est fermée

Il est important de noter qu'une partie de $X$ qui n'est pas ouverte, n'est pas fermée pour autant (et inversement). De plus, elle ne sont pas incompatibles : une partie de E peut être à la fois ouverte et fermée. Par exemple :

Dans toute topologie, $X$ et $\emptyset$ sont tous deux des ouverts, et le complémentaire l'un de l'autre ; ils sont donc également fermés.
Dans la topologie discrète (voir ci-dessous), le lecteur déduira aisément que toute partie de $X$ , donc tout ouvert, est fermé.

Définition : Voisinage

Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique, et soit $x$ un élément de cet ensemble. On appelle voisinage de $x$ toute partie contenant un ouvert, qui contient lui-même $x$ . On peut aussi parler de voisinage d'une partie (non vide) de $X$ ( $x$ est alors une partie non vide de $X$ dans la définition précédente). On notera $\mathcal{V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$ .

Proposition

Les voisinages respectent alors les propriétés suivantes :

$\mathcal{V}(x) \not = \emptyset$ , car $X \in \mathcal{V}(x)$ ;
L'intersection de deux éléments de $\mathcal{V}(x)$ appartient à $\mathcal{V}(x)$ ;
$\emptyset\notin\mathcal V(x)$ ;
soient $A$ et $B$ deux parties de $X$ . Si $A$ est un voisinage de $x$ et est inclus dans $B$ , alors $B$ est aussi un voisinage de $x$ .

Enfin, on notera qu'il est possible de définir une topologie avec la donnée des voisinages.

[modifier] Exemples classiques d'espaces topologiques

Exemple : Topologie grossière

Tout ensemble E peut être muni de la topologie grossière : $\mathcal\Tau = \{\emptyset, E\}$ . Il est facile de vérifier que cela définit bien une topologie. C'est celle qui contient le moins d'ouverts possible.

Exemple : Topologie discrète

Tout ensemble E peut être muni de la topologie discrète : $\mathcal\Tau = \mathcal P(E)$ . E est appelé espace discret. Dans ce cas, toutes les parties de E sont ouvertes : on dit qu'E est discret. Cela correspond intuitivement au cas où tous les points de E sont isolés et indépendants les uns des autres. En anticipant sur la suite, les seules suites convergentes dans un espace discret sont les suites stationnaires.

Exemple : Ensemble des réels

L'exemple suivant le plus intéressant est celui de l'ensemble $\mathbb R$ des nombres réels. En effet, dans la construction des ensembles classiques de nombres, $\mathbb R$ est le premier ensemble à être défini en utilisant des notions de topologie, en « complétant » $\mathbb Q$ . La définition de la topologie sur $\mathbb R$ est la suivante : $O \subset \mathbb R$ est ouvert si pour tout $x \in O$ , il existe $\epsilon>0$ tel que $]x-\epsilon, x+\epsilon[ \subset O$ .

De même, $\mathbb R^n$ est un espace topologique, et l'on dit que $O \subset \mathbb R^n$ est ouvert si pour tout $x \in O$ , il existe $\epsilon>0$ tel que $]x_1-\epsilon, x_1+\epsilon[ \times \cdots \times ]x_n-\epsilon, x_n+\epsilon[ \subset O$ . Ce n'est pas la seule manière de définir une topologie sur cet espace, mais toutes les manières à peu près « raisonnables » (c'est-à-dire telles que la topologie dérive d'une norme) définissent la même topologie.

Cet exemple est fondamental car il forme le cadre dans lequel on commence à faire de l'analyse, avec l'étude des fonctions réelles à valeurs dans $\mathbb R^n$ , ou celles des fonctions de $\mathbb R^p$ dans $\mathbb R^n$ (calcul différentiel).

Exemple : Topologie de la convergence uniforme

L'analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis d'une topologie. Ils sont de dimension infinie car ce sont généralement des ensembles de fonctions. Premier exemple : l'ensemble des suites réelles $\mathbb R^n$ est un espace vectoriel. On peut définir une topologie en décrétant que $O \subset \mathbb R^n$ est ouvert si, pour toute suite $(x_n) \in O$ , il existe $\epsilon>0$ tel que toute suite $(y_n)$ vérifiant $\forall n \in \N, |x_n - y_n| < \epsilon$ est dans $O$ . Cette topologie se nomme topologie de la convergence uniforme. Ce n'est pas la seule manière de définir une topologie sur cet espace.

Autre exemple : l'ensemble $\mathcal C^0(I, \mathbb R)$ des fonctions continues d'un intervalle compact $I$ à valeurs dans $\mathbb R$ est un espace vectoriel. On peut définir une topologie sur cette espace en décrétant que $O \subset \mathcal C^0(I, \mathbb R)$ est ouvert si pour toute fonction $f \in O$ , il existe $\epsilon>0$ tel que toute fonction $g \in \mathcal C^0(I, \mathbb R)$ vérifiant $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ pour tout $x \in I$ , est dans $O$ . Cette topologie s'appelle encore topologie de la convergence uniforme.