Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires

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Théorème des valeurs intermédiaires

Chapitre no2
Leçon : Continuité et variations
Chap. préc. :	Langage de la continuité
Chap. suiv. :	Fonctions continues strictement monotones
Exercices :	Théorème des valeurs intermédiaires

   

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Théorème des valeurs intermédiaires

Début d'un théorème

Théorème

Soit $f\,$ une fonction continue sur un intervalle $I\,$ et $(a, b) \in I^2\,$ .

Pour tout réel $k\,$ tel que : $f(a)\leq k\leq f(b)\,$,

il existe (au moins) un réel $c \in [a;b]$ vérifiant l'équation : $f(c)=k\,$.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur $I$,

il suffit de montrer qu'elle change de signe sur $I$.

Fin de l'exemple

Interprétation graphique

La droite d'équation $y=u\,$ coupe au moins une fois la courbe représentative de f.

Interprétation en termes d'équations

Début d'une propriété Propriété

Soit f une fonction continue d'un intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), l'équation $f(x)=u$ admet (au moins) une solution c comprise entre a et b. On peut démontrer l'unicité de cette solution si $f$ est strictement monotone sur $I$ et les conditions d'application du théorème.

Début de la propriété

Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence qui ne précise pas la valeur des solutions.

Néanmoins des méthodes algorithmiques (comme la méthode de dichotomie) l'utilisent pour déterminer des valeurs approchées des solutions.

Continuité et variations

Langage de la continuité

Fonctions continues strictement monotones