Initiation au calcul intégral/Intégration par parties

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**Intégration par parties**
Leçon : Initiation au calcul intégral

Chapitre 4
Chap. préc. :	Propriétés de l'intégrale
Chap. suiv. :	Intégrale sans bornes et primitives

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Initiation au calcul intégral/Intégration par parties », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Introduction
2 Formule d'intégration par parties
- 2.1 Exemples

[modifier] Introduction

L'intégration par parties (IPP) est une propriété couramment utilisée dans le calcul d'intégrales car elle simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à "jouer" avec les applications mises en jeu.

[modifier] Formule d'intégration par parties

Notation crochet

Soit f une fonction.

Dans le calcul intégral, on note souvent $[f(x)]_{x=a}^{x=b}$ , ou plus simplement $[f]_a^b$ le réel $f(b)-f(a)\,$ .

La formule de l'Intégration Par Parties (IPP) est donnée par la relation suivante:

Théorème

Soient u et v deux fonctions dérivables, dont les dérivées sont continues.

$\int_a^b{u'v}=[uv]_a^b-\int_a^b{uv'}$

Cette formule provient l'intégration de la formule de dérivation d'un produit.

Traduit littéralement cela donne:

L'intégrale du produit d'une fonction u par la dérivée d'une fonction (ou par une fonction facilement intégrable) v' est égale à la différence du produit de la dérivée de la première fonction u' et de la deuxième fonction v au produit des deux fonctions u et v.

[modifier] Exemples

[modifier] Exemple simple

On sait qu'une primitive de $x\mapsto x$ est $x\mapsto\frac{x^2}2$ .

On souhaite ici calculer $\int_0^1x~\mathrm dx$ sans utiliser cette primitive, grâce à la formule d'intégration par parties en écrivant que $\int_0^1x~\mathrm dx=\int_0^1{1\times x~\mathrm dx}$

On pose :

sur $\R$ la fonction $v:x\mapsto x$ , donc pour tout $x\in\R,~v'(x)=1$
u une fonction telle que pour tout $x\in\R,~u'(x)=1$ , par exemple $u:x\mapsto x$

$\begin{align}\int_0^1x~\mathrm dx&=\int_0^1{1\times x~\mathrm dx}\\ &=\int_0^1{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\ &=[uv]_0^1-\int_0^1u(x)v'(x)~\mathrm dx\\ &=[x\times x]_{x=0}^{x=1}-\int_0^1x\times1~\mathrm dx\end{align}$

ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:

$2\int_0^1x~\mathrm dx=1^2-0^2=1$

Donc $\int_0^1x~\mathrm dx=\frac12$

[modifier] Exemple classique

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Calculer $\int_0^1{xe^x~\mathrm dx}\,$

On choisit u telle que pour tout $x\in\R,~u'(x)=\cdots$
On pose pour tout $x\in\R,~v(x)=\cdots$

On obtient pour tout $x\in\R,~u(x)=\cdots$ et $v'(x)=\cdots$ :

$\int_0^1{xe^x~\mathrm dx}=\cdots$

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in\R,~u'(x)=e^x\,$
On pose sur $\R$ la fonction $v:x\mapsto x$
On obtient pour tout $x\in\R,~u(x)=e^x\,$ et $v'(x)=1\,$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties :

$\begin{align}\int_0^1{xe^x~\mathrm dx}&=\int_0^1{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\ &=[uv]_0^1-\int_0^1u(x)v'(x)~\mathrm dx\\ &=[xe^x]_{x=0}^{x=1}-\int_0^1{e^x~\mathrm dx}\\ &=1e^1-0e^0-(e^1-e^0)\\ &=e-e+1\\ &=1 \end{align}$

[modifier] Avec cosinus

$\int_0^{\pi}{x\cos(x)~\mathrm dx}$

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in\R,~u'(x)=\cos(x)$
On pose sur $\R$ la fonction $v:x\mapsto x$
On obtient pour tout $x\in\R,~u(x)=\sin(x)$ et $v'(x)=1\,$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties :

$\begin{align}\int_0^{\pi}{x\cos(x)~\mathrm dx}&=\int_0^{\pi}{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\ &=[uv]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}u(x)v'(x)~\mathrm dx\\ &=[x\sin(x)]_{x=0}^{x=\pi}+\int_0^{\pi}{(-\sin(x))~\mathrm dx}\\ &=[\cos(x)]_{x=0}^{x=\pi}\\ &=-2\\ \end{align}$

[modifier] Avec un logarithme

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

$\int_1^4{x\ln(x)~\mathrm dx}$

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in[1;4],~u'(x)=x$
On pose sur [1;4] la fonction $v:x\mapsto \ln(x)$
On obtient pour tout $x\in[1;4],~u(x)=\frac{x^2}2$ et $v'(x)=\frac1x$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties :

$\begin{align}\int_1^4{x\ln(x)~\mathrm dx}&=\int_1^4{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\ &=[uv]_1^4-\int_1^4u(x)v'(x)~\mathrm dx\\ &=\left[\frac{x^2}2\ln(x)\right]_{x=1}^{x=4}-\int_1^4 \frac{x^2}2\frac1x~\mathrm dx\\ &=8\ln(4)-0-\frac12\int_1^4 x~\mathrm dx\\ &=16\ln(2)-\frac12\left[\frac{x^2}2\right]_{x=1}^{x=4}\\ &=16\ln(2)-\frac12\left(\frac{4^2}2-\frac12\right)\\ &=16\ln(2)-\frac{15}4\\ \end{align}$

[modifier] En utilisant consécutivement plusieurs IPP

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

$\int_{-1}^1{x^2e^x~\mathrm dx}$ .

Solution

On choisit une fonction u telle que pour tout $x\in[-1;1],~u'(x)=e^x$
On pose sur [-1;1] la fonction $v:x\mapsto x^2$
On obtient pour tout $x\in[-1;1],~u(x)=e^x$ et $v'(x) = 2 x$ .

On applique alors la formule d'intégration par parties :

$\begin{align}\int_{-1}^1{x^2e^x~\mathrm dx}&=\int_{-1}^1{u'(x)v(x)~\mathrm dx}\\ &=[uv]_{-1}^1-\int_{-1}^1u(x)v'(x)~\mathrm dx\\ &=[x^2e^x]_{x=-1}^{x=1}-2\int_{-1}^1 xe^x~\mathrm dx\\ &=e-\frac1e-2\int_{-1}^1 xe^x~\mathrm dx \end{align}$

On choisit une fonction u₂ telle que pour tout $x\in[-1;1],~u_2'(x)=e^x$
On pose sur [-1;1] la fonction $v_2:x\mapsto x$
On obtient pour tout $x\in[-1;1],~u_2(x)=e^x$ et $v_2'(x)=1\,$ .

On applique alors derechef la formule d'intégration par parties :

$\begin{align} e-\frac1e-2\int_{-1}^1 xe^x~\mathrm dx&=e-\frac1e-2\int_{-1}^1 u_2'(x)v_2(x)~\mathrm dx\\ &=e-\frac1e-2\left([u_2v_2]_{-1}^1-\int_{-1}^1 u_2(x)v_2'(x)~\mathrm dx\right)\\ &=e-\frac1e-2\left([xe^x]_{-1}^1-\int_{-1}^1 e^x~\mathrm dx\right)\\ &=e-\frac1e-2\left(e+\frac1e-[e^x]_{x=-1}^{x=1}\right)\\ &=e-\frac1e-2\left(e+\frac1e-\left(e-\frac1e\right)\right)\\ &=e-\frac5e\\ \end{align}$