Initiation au calcul intégral/Propriétés de l'intégrale

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**Propriétés de l'intégrale**
Leçon : Initiation au calcul intégral

Chapitre 3
Chap. préc. :	Intégrale d’une fonction sur un intervalle
Chap. suiv. :	Intégration par parties

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Initiation au calcul intégral/Propriétés de l'intégrale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Relation de Chasles
- 1.1 Conséquences
2 Linéarité de l'intégration
- 2.1 Exemple
3 Positivité de l'intégration
4 Inégalité de la moyenne
5 Valeur moyenne d'une fonction
- 5.1 Remarques

[modifier] Relation de Chasles

Propriété

Soit f une fonction dérivable sur I et a, b et c trois réels de I.

$\int_a^b f(x)~\mathrm dx+\int_b^c f(x)~\mathrm dx=\int_a^c f(x)~\mathrm dx$

[modifier] Conséquences

Propriété

$\int_b^a f(x)~\mathrm dx=-\int_a^b f(x)~\mathrm dx$
$\int_a^a f(x)~\mathrm dx=0$

[modifier] Linéarité de l'intégration

Propriété

Soient f et g deux fonctions dérivables sur I et a, b deux réels de I.

$\int_a^b(f(x)+g(x))~\mathrm dx=\int_a^bf(x)~\mathrm dx+\int_a^bg(x)~\mathrm dx$
$\forall\lambda\in\R,\int_a^b\lambda\,f(x)~\mathrm dx=\lambda\,\int_a^bf(x)~\mathrm dx$

[modifier] Exemple

[modifier] Positivité de l'intégration

Propriété

Si $f(x)\ge 0$ sur [a;b], alors $\int_a^b f(x)~\mathrm dx\ge0$
Si $f(x)\le g(x)$ sur [a;b], alors $\int_a^bf(x)~\mathrm dx \le \int_a^b g(x) ~\mathrm dx$

[modifier] Inégalité de la moyenne

Théorème

Si f est dérivable sur [a;b] et si pour tout x de cet intervalle, on a :

$m \le f(x)\le M$ , alors $m\,(b-a) \le \int_a^b f(x)~\mathrm dx \le M\,(b-a)$

[modifier] Valeur moyenne d'une fonction

Définition

Pour toute fonction dérivable sur un segment [a;b] avec b>a, la valeur moyenne de f sur [a;b] est le réel $μ$ défini par :

$\mu=\frac1{b-a} \times \int_a^b f(x)~\mathrm dx$

[modifier] Remarques

Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable.

Initiation au calcul intégral

Intégrale d’une fonction sur un intervalle

Intégration par parties

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Sommaire

[modifier] Relation de Chasles

[modifier] Conséquences

[modifier] Linéarité de l'intégration

[modifier] Exemple

[modifier] Positivité de l'intégration

[modifier] Inégalité de la moyenne

[modifier] Valeur moyenne d'une fonction

[modifier] Remarques

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