Initiation au calcul intégral/Intégrale sans bornes et primitives

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Intégrale sans bornes et primitives
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Chapitre 5
Leçon : Initiation au calcul intégral
Chap. préc. : Intégration par parties


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Sommaire

[modifier] Intégrale sans bornes

[modifier] Définition

On a vu au début de ce cours qu'une fonction admettait une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante.


Exemple
  • F:x\mapsto x^2+3
  • G:x\mapsto x^2-1
  • H:x\mapsto x^2+5000
  • K:x\mapsto x^2
  • I:x\mapsto x^2+1,5

sont toutes des primitives de la fonction x\mapsto 2x.



Intégrale sans bornes

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I admettant des primitives.

On note \int f(x)~\mathrm dx, et on lit « intégrale sans bornes de ƒ(x) dx » l'ensemble de toutes les primitives de ƒ sur l'intervalle I.



Exemple

\int 2x~\mathrm dx=x^2+C,~C\in\R

Cette écriture signifie que les primitives de la fonction x\mapsto 2x sont les fonctions de la forme x\mapsto x^2 à une constante additive réelle C près.

[modifier] Abus de langage

Un abus de langage commis couramment consiste par désigner par \int f(x)~\mathrm dx une primitive de ƒ, le plus souvent celle où C=0. On omet la constante additive.

Nuvola apps important.svg Cependant, si on commet cet abus toléré, il faut bien garder à l'esprit que lorsqu'on calcule une primitive, elle n'est définie qu'à une constante additive près, surtout lorsqu'on recherche une primitive vérifiant une propriété particulière.

[modifier] Calcul de primitives

On peut alors se servir des techniques de calcul d'intégrales pour trouver des primitives, en particulier l'intégration par parties.


Exemple simple

On sait que \int x~\mathrm dx=\frac{x^2}2+C,~C\in\R.

Essayons de le montrer avec une IPP :

\int x~\mathrm dx=\int{1\cdot x~\mathrm dx}=[x*x]-\int{x\cdot1~\mathrm dx}

ce qui se simplifie en basculant un terme à gauche:

2 \int x~\mathrm dx=x^2+C,~C\in\R, c'est-à-dire \int x~\mathrm dx=\frac{x^2}2+C,C\in\R


Ensuite, il y a des exemples plus compliqués, comme cette intégration classique (à savoir refaire sans problème).


Exemple classique

Trouver \int xe^x~\mathrm dx

On choisit pour tout x,~u'(x)=e^x et v(x)=x\,

On obtient pour tout x,~u(x)=e^x et v'(x)=1\,.

On obtient alors :

\int xe^x~\mathrm dx=[xe^x]-\int e^x~\mathrm dx=(x-1)e^x+C,C\in\R



Exemples utilisant plusieurs IPP successives
  • \int x^2e^x~\mathrm dx=(x^2-2x+2)e^x+C,C\in\R.
  • \int x\,\ln(x)~\mathrm dx=\frac{x^2}4(2\ln(x)-1)+C,C\in\R


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