Fonction logarithme/Croissances comparées

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Croissances comparées

Chapitre no4
Leçon : Fonction logarithme
Chap. préc. :	Étude de la fonction logarithme népérien
Chap. suiv. :	Dérivée de ln(u)
Travail pratique :	Croissances comparées

   

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Comparaison entre ln(x) et x en + ∞

On a vu que la fonction ln est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et tend vers $+\infty$ quand x tend vers $+\infty$, mais qu’elle croît « lentement ».

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}x$

qui est une forme indéterminée $\frac{+\infty}{+\infty}$.

On donne le :

Début d'un théorème

Théorème

En $+\infty$, ln(x) devient négligeable devant x,

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0$

Fin du théorème

Démonstration

On pose $f:x\mapsto\frac{\ln(x)}x$, définie sur $\R^{+*}$

Pour tout $x\in\R^{+*},~f'(x)=\frac{\frac1xx-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$

Or si $x > e$, $\ln(x)>1$ donc cette dérivée est négative, donc la fonction f est décroissante.

Il suffit donc d’en étudier les valeurs sur la suite géométrique des puissances de 2. Or :

$\frac{\ln(2^n)}{2^n}=\frac{n\ln(2)}{2^n}$

qui tend vers 0 quand n tend vers $+\infty$ car c’est le quotient d’une suite arithmétique de raison $\ln(2)$ par une suite géométrique de raison 2.

 

Exemples

Déterminer les limites suivantes :

• $\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}$

Solution

Comme $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0^+$, on a $\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty$

• $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}$

Solution

• $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0$
• $\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$
• Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=0\times0=0$

• $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}$

Solution

Soit $x\in\R$:

On pose $X=\sqrt x$.

$\begin{align} \frac{\ln(x)}{\sqrt x}&=\frac{\ln(X^2)}X\\ &=\frac{2\ln(X)}X\\ \end{align}$

Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}=\lim_{X\to+\infty}\frac{2\ln(X)}X=0^+$

• $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}$

Solution

Soit $x\in\R$

On pose $X=x^2\,$.

On a $\frac x{\ln(x^2)}=\frac{\sqrt X}{\ln(X)}$

Comme $\lim_{X\to+\infty}\frac{\ln(X)}{\sqrt X}=0^+$, on a $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}=\lim_{X\to+\infty}\frac{\sqrt X}{\ln(X)}=+\infty$

• $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln(x)}$

Solution

• $\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}\frac {x^2}{\ln(x)}=+\infty$
• $\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)}=+\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}\frac 1{\ln(x)}=0$
• Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\ln(x)}+3\frac x{\ln(x)}+\frac1{\ln(x)}=+\infty$

• $\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)$

Solution

Pour tout $x\in\R,~\ln(x)-x=\ln(x)\left(1-\frac x{\ln(x)}\right)$

• $\lim_{x\to+\infty}-\frac x{\ln(x)}=-\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}1-\frac x{\ln(x)}=-\infty$
• $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$

Donc $\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)=-\infty$

Remarque

Plus généralement, on pourrait en déduire que le quotient de $ln(x)$ par n’importe quel polynôme, ou n’importe quelle puissance positive de x, tend vers 0 quand x tend vers $+ \infty$.

Comparaison entre ln(x) et x en 0⁺

En revanche, quand x tend vers 0 par valeurs supérieures (en $0^+$), on a une autre limite :

$\lim_{x\to0^+}(x\ln(x))$

qui est aussi une forme indéterminée $0.(-\infty)$.

On donne :

Début d'un théorème

Théorème

ln(x) tend vers $-\infty$ en $0^+$, mais pas très vite :

$\lim_{x\to0^+}(x\ln(x))=0^-$

Fin du théorème

Exemples

Déterminer les limites suivantes.

• $\lim_{x\to0}x^2\ln(x)$

Solution

• $\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0$
• $\lim_{x\to0^+}x=0$
• Donc $\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x)=0$

• $\lim_{x\to0}\sqrt x\ln(x)$

Solution

Soit $x\in\R$:

On pose $X=\sqrt x$.

$\begin{align} \sqrt x\ln(x)&=X\ln(X^2)\\ &=2X\ln(X) \end{align}$

Donc $\lim_{x\to0}\sqrt x\ln(x)=\lim_{X\to0}2X\ln(X)=0$

• $\lim_{x\to0}\left(\ln(x)+\frac1x\right)$

Solution

Pour tout $x\in\R,~\ln(x)+\frac1x=\frac1x\left(x\ln(x)+1\right)$

• $\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0$
• Donc $\lim_{x\to0^+}1+x\ln(x)=1$
• $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$
• Donc $\lim_{x\to0}\left(\ln(x)+\frac1x\right)=+\infty$

Fonction logarithme

Étude de la fonction logarithme népérien

Dérivée de ln(u)