Fonction logarithme/Croissances comparées

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**Croissances comparées**
Leçon : Fonction logarithme

Chapitre 4
Chap. préc. :	Étude de la fonction logarithme népérien
Chap. suiv. :	Dérivée de ln(u)

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Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Comparaison entre ln(x) et x en + ∞
- 1.1 Exemples
- 1.2 Remarque
2 Comparaison entre ln(x) et x en 0⁺
- 2.1 Exemples

[modifier] Comparaison entre ln(x) et x en + ∞

On a vu que la fonction ln est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et tend vers $+\infty$ quand x tend vers $+\infty$ , mais qu’elle croît « lentement ».

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}x$

qui est une forme indéterminée $\frac{+\infty}{+\infty}$ .

On donne le :

Théorème

En $+\infty$ , ln(x) devient négligeable devant x,

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0$

Démonstration

On pose $f:x\mapsto\frac{\ln(x)}x$ , définie sur $\R^{+*}$

Pour tout $x\in\R^{+*},~f'(x)=\frac{\frac1xx-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$

Or si $x > e$ , $ln(x) > 1$ donc cette dérivée est négative, donc la fonction f est décroissante.

Il suffit donc d’en étudier les valeurs sur la suite géométrique des puissances de 2. Or :

$\frac{\ln(2^n)}{2^n}=\frac{n\ln(2)}{2^n}$

qui tend vers 0 quand n tend vers $+\infty$ car c’est le quotient d’une suite arithmétique de raison $ln(2)$ par une suite géométrique de raison 2.

[modifier] Exemples

Déterminer les limites suivantes :

$\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}$

Solution

Comme $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0^+$ , on a $\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}$

Solution

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0$
$\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$
Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=0\times0=0$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}$

Solution

Soit $x\in\R$ :

On pose $X=\sqrt x$ .

$\begin{align} \frac{\ln(x)}{\sqrt x}&=\frac{\ln(X^2)}X\\ &=\frac{2\ln(X)}X\\ \end{align}$

Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}=\lim_{X\to+\infty}\frac{2\ln(X)}X=0^+$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}$

Solution

Soit $x\in\R$

On pose $X=x^2\,$ .

On a $\frac x{\ln(x^2)}=\frac{\sqrt X}{\ln(X)}$

Comme $\lim_{X\to+\infty}\frac{\ln(X)}{\sqrt X}=0^+$ , on a $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}=\lim_{X\to+\infty}\frac{\sqrt X}{\ln(X)}=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln(x)}$

Solution

$\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}\frac {x^2}{\ln(x)}=+\infty$
$\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)}=+\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}\frac 1{\ln(x)}=0$
Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\ln(x)}+3\frac x{\ln(x)}+\frac1{\ln(x)}=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)$

Solution

Pour tout $x\in\R,~\ln(x)-x=\ln(x)\left(1-\frac x{\ln(x)}\right)$

$\lim_{x\to+\infty}-\frac x{\ln(x)}=-\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}1-\frac x{\ln(x)}=-\infty$
$\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$

Donc $\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)=-\infty$

[modifier] Remarque

Plus généralement, on pourrait en déduire que le quotient de $l n (x)$ par n’importe quel polynôme, ou n’importe quelle puissance positive de x, tend vers 0 quand x tend vers $+ \infty$ .