Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)
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| Chapitre 5 | |||
| Leçon : Fonction logarithme | |||
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| Chap. préc. : | Croissances comparées | ||
| Chap. suiv. : | Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives | ||
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Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Exemple
On considère des fonctions de la forme :
où u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Par exemple, la fonction ƒ définie par :
- pour tout
est la fonction composée :
- de la fonction affine u définie par pour tout
; - et de la fonction logarithme népérien.
Or, la fonction ln n'est définie que sur ![]0;+\infty[](http://upload.wikimedia.org/math/a/b/e/abe7a92275e0c5644d5bd5c819fa694e.png)
. Pour que f soit définie en 
, il faut et il suffit que 
, c'est-à-dire 
.
Le domaine de définition de ƒ est alors ![I=\left]-\frac12;+\infty\right[](http://upload.wikimedia.org/math/4/6/f/46ff8cd86a443d3ab41d0f8c9efa9038.png)
Pour calculer ƒ', on utilise la formule
- pour tout
D'où l'expression de la dérivée de ƒ :
- pour tout
Ici, 
, on généralise ce procédé au cas où u n’est pas forcément affine :
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Théorème |
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Soit une fonction ƒ définie sur un domaine I par l'expression
où u est dérivable et strictement positive sur I, alors ƒ est dérivable sur I et
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[modifier] Exercices
Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
1.
2.
3.
4. 
5. 
6. 
7.
8. 
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Morale |
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On peut remarquer d'emblée que les fonctions 3 et 4 sont égales, ainsi que les fonctions 5 et 6. Ce qui apparaît dans le calcul de la dérivée, c'est qu'il est souvent plus simple de développer l'expression au maximum en utilisant les propriétés de ln avant de dériver pour éviter des calculs de dérivée parfois (très) lourds. |
