Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)

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Dérivée de ln(u)

Chapitre no5
Leçon : Fonction logarithme
Chap. préc. :	Croissances comparées
Chap. suiv. :	Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives
Exercices :	Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle

   

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Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exemple

On considère des fonctions de la forme :

$\ln(u)\,$

où u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Par exemple, la fonction ƒ définie par :

pour tout $x\in I,~f(x)=\ln(2x+1)$

est la fonction composée :

• de la fonction affine u définie par pour tout $x\in I,~u(x)=2x+1$ ;
• et de la fonction logarithme népérien.

Or, la fonction ln n'est définie que sur $]0;+\infty[$. Pour que f soit définie en $x\in\R$, il faut et il suffit que $u(x)>0\,$, c'est-à-dire $x>-\frac12$.

Le domaine de définition de ƒ est alors $I=\left]-\frac12;+\infty\right[$

Pour calculer ƒ', on utilise la formule

pour tout $x\in I,~f'(x)=a\cdot f'(ax+b)\,$

D'où l'expression de la dérivée de ƒ :

pour tout $x\in I,~f'(x)=2\cdot\frac1{2x+1}=\frac2{2x+1}$

Ici, $u'(x) = a\,$, on généralise ce procédé au cas où u n’est pas forcément affine :

Début d'un théorème

Théorème

Soit une fonction ƒ définie sur un domaine I par l'expression

pour tout $x\in I,~f(x)=\ln(u(x))$

où u est dérivable et strictement positive sur I, alors ƒ est dérivable sur I et

pour tout $x\in\R,~f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}$

Fin du théorème

Exercices

Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions ƒ suivantes :

1. $f(x)=\ln(x^2+1)\,$

• $u(x)=\ldots$
• $u'(x)=\ldots$
• $f'(x)=\ldots$

2. $f(x)=\ln(2x^3+1)\,$

3. $f(x)=\ln(x^2+2x+1)\,$

4. $f(x)=\ln((x+1)^2)\,$

5. $f(x)=\ln\left(\frac{x+2}{4x-2}\right)$

6. $f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)\,$

7. $f(x)=-3\ln(5x^2+3)\,$

8. $f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)$

Solution

1. $f(x)=\ln(x^2+1)\,$

• $u(x)=x^2+1\,$
• $u'(x)=2x\,$
• $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

2. $f(x)=\ln(2x^3+1)\,$

• $u(x)=2x^3+1\,$
• $u'(x)=6x^2\,$
• $f'(x)=\frac{6x^2}{2x^3+1}$

3. $f(x)=\ln(x^2+2x+1)\,$

• $u(x)=x^2+2x+1\,$
• $u'(x)=2x+2\,$
• $f'(x)=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}=\frac2{x+1}$

4. $f(x)=\ln((x+1)^2)=2\ln(x+1)\,$

• $u(x)=x+1\,$
• $u'(x)=1\,$
• $f'(x)=\frac2{x+1}$

5. $\ln\left(\frac{x+2}{4x-2}\right)$ $u(x)=\frac{x+2}{4x-2}=\frac{v(x)}{w(x)}$

$\begin{align}u'(x)&=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w^2(x)}\\ &=\frac{1\cdot(4x-2)-(x+2)\cdot4}{(4x-2)^2}\\ &=\frac{-10}{(4x-2)^2} \end{align}$

$\begin{align}f'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}\\ &=\frac{-10}{(4x-2)^2}\times\frac{4x-2}{x+2}\\ &=\frac{-10}{(4x-2)(x+2)}\end{align}$

6. $f(x)=\ln(x+2)-\ln(4x-2)=\ln(u(x))-\ln(v(x))\,$

• $u(x)=x+2\,$
• $u'(x)=1\,$
• $v(x)=4x-2\,$
• $v'(x)=4\,$

$\begin{align}f'(x)&=\frac{u'(x)}{u(x)}-\frac{v'(x)}{v(x)}\\ &=\frac1{x+2}-\frac4{4x-2}\\ &=\frac{(4x-2)-4(x+2)}{(4x-2)(x+2)}\\ &=\frac{-10}{(4x-2)(x+2)}\\ \end{align}$

7. $f(x)=-3\ln(5x^2+3)\,$

• $u(x)=5x^2+3\,$
• $u'(x)=10x\,$
• $f'(x)=\frac{-30x}{5x^2+3}$

8. $f(x)=-3x\cdot\ln(5x^2+3)=u(x)\cdot v(x)\,$

$\begin{align} f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ &=-3\ln(5x^2+3)-\frac{30x^2}{5x^2+3} \end{align}$

Début d'un principe

Morale

On peut remarquer d'emblée que les fonctions 3 et 4 sont égales, ainsi que les fonctions 5 et 6.

Ce qui apparaît dans le calcul de la dérivée, c'est qu'il est souvent plus simple de développer l'expression au maximum en utilisant les propriétés de ln avant de dériver pour éviter des calculs de dérivée parfois (très) lourds.

Fin du principe

Fonction logarithme

Croissances comparées

Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives