Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien

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**Étude de la fonction logarithme népérien**
Leçon : Fonction logarithme

Chapitre 3
Chap. préc. :	Propriétés algébriques du logarithme
Chap. suiv. :	Croissances comparées

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Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Étude des variations

Théorème

La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle $\left]0;+\infty\right[$ , sur lequel elle est strictement croissante.

$\begin{array}{c|ccc|} x&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Variations~de}~\ln&&\nearrow&\\ \end{array}$

Démonstration

Si x > 0 alors $\ln'(x)=\frac1x>0$
Donc ln est strictement croissante.

[modifier] Courbe représentative

[modifier] Étude du signe

$\begin{array}{c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~\ln(x)&&-&0&+&\\ \end{array}$

Démonstration

On déduit du tableau de variations le signe de ln(x) quand x > 0. ln(1) = 0 et ln est strictement croissante donc :

Si 0 < x < 1 alors ln(x) < 0.
Si x > 1 alors ln(x) > 0.

[modifier] Étude des limites

[modifier] Limite en $+\infty$

Comme on sait que ln est croissante,

il suffit de regarder l’évolution de ln sur une suite de valeurs tendant vers $+\infty$ ,

par exemple la suite géométrique de raison 2 composée des puissances de 2 .

$\ln(2^n)=\cdots$ tend vers $\cdots$

quand n tend vers $+\infty$ .

En conclusion :

$\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=\cdots$

[modifier] Limite en $0 +$

Comme on sait que ln est croissante,

il suffit de regarder l’évolution de ln sur une suite de valeurs tendant vers $0 +$ ,

par exemple la suite géométrique de raison $\frac12$

composée des puissances de $\frac12$ .

$\ln\left(\frac1{2^n}\right)=\ldots$ tend vers $\ldots$ quand n tend vers $0 +$ .

En conclusion :

$\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=\cdots$

Compléter le tableau de variations avec ces deux limites.

Tableau de variations complet de la fonction ln

$\begin{array}{c|ccc|} x&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~\ln'(x)&&+&\\ \hline &&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f&&\nearrow&\\ &-\infty&& \end{array}$

[modifier] Le nombre e et l’équation ln(x)=1

D’après le tableau de variations, le nombre ln(x) prend toutes les valeurs réelles quand x varie sur $\left]0;+\infty\right[$ , chacune exactement 1 fois. On dit que ln est une bijection de $\left]0;+\infty\right[$ sur $\R$ .

En particulier :

Théorème

Il existe un unique nombre, noté e (constante de Neper, ou parfois nombre d'Euler) tel que $ln(e) = 1$ .

Propriété

e est irrationnel, de valeur approchée 2,718.

Fonction logarithme

Propriétés algébriques du logarithme

Croissances comparées

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Sommaire

[modifier] Étude des variations

[modifier] Courbe représentative

[modifier] Étude du signe

[modifier] Étude des limites

[modifier] Limite en $+\infty$

[modifier] Limite en $0 +$

[modifier] Le nombre e et l’équation ln(x)=1

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[modifier] Étude des limites

[modifier] Limite en

[modifier] Limite en 0 +

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[modifier] Limite en $+\infty$

[modifier] Limite en $0 +$