Fonction exponentielle/Croissances comparées

Une page de Wikiversité.

**Croissances comparées**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre 5
Chap. préc. :	Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :	Dérivée de exp(u)

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées
Fonction exponentielle/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Comparaison entre e^x et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur $\R$ et tend vers $+\infty$ quand x tend vers $+\infty$ , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (eⁿ).

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x$

qui est une forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty}$ .

Croissances comparées en $+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty$

Démonstration

On étudie sur $[0;+\infty[$ la fonction $\phi : x\mapsto e^x-\frac{1}{2}x^2$ .

On a :

$\phi'(x)=e^x-x\,$

et

$\phi''(x)=e^x-1\,$

Sur $[0;+\infty[$ ,comme $e^x\geq 1$ donc $\phi''(x)\geq 0$ , donc $φ'$ est croissante sur $[0;+\infty[$ .

Or $\phi'(0)=1\,$ donc $\phi'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$ , donc $φ$ est croissante sur $[0;+\infty[$ .

Or $\phi(0)=1\,$ donc $\phi(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$

On en déduit avec l'expression de $\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2$ , que sur $[0;+\infty[$ :

$e^x-\frac{1}{2}x^2 \geq 0$

donc:

$e^x\geq \frac{1}{2}x^2 \geq 0$

donc :

$\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,$ .

Or $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,$ donc par comparaison, $\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,$

[modifier] Comparaison entre e^x et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur $\R$ et tend vers 0 quand x tend vers $-\infty$ , à la vitesse de la suite géométrique (e^-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

$\lim_{x\to-\infty}xe^x$

qui est une forme indéterminée $-\infty \times 0^+$

Théorème

$\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$

Preuve: $\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}$

En posant $t = - x$ , on a $-\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}= - \lim\limits_{t\to -\infty} \dfrac{t}{e^{t}}=- \lim\limits_{t\to -\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^t}{t}}=0$

[modifier] Application

Déterminer les limites suivantes :

$\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}$

Solution

$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty$
Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0$

$\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)$

Solution

Pour tout $x\in\R,~e^x-x=e^x\left(1-\frac x{e^x}\right)$
Or, $\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0$
De plus, $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$
Donc $\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty$

$\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3$

Solution

Pour tout $x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}$ .

Pour tout $x\in\R$ , on pose $X=-\frac x3$
On a alors pour tout $x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=-3Xe^X$ .
On sait que $\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0$
Donc $\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=0$
De plus, $\lim_{t\to0}t^3=0$
Donc $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0$

$\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}$

Solution

On pose $X=x^2\,$ .

Pour tout $x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}$
On sait que $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty$
Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x$

Solution

Pour tout $x\in\R,~\frac{\sqrt{e^x}}x=\sqrt{\frac{e^x}{x^2}}$
On a $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty$
De plus, $\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty$
Donc $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty$

$\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x$

Solution

Pour tout $x\in\R$ , on pose $X=-x\,$ .

Soit $x\in\R$ .
On a

$\begin{align} (x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\ &=\frac{X^2+1}{e^X}\\ &=\frac{X^2\left(\frac1{X^2}+1\right)}{e^X} \end{align}$

On sait que $\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2}{e^X}=0$
et que $\lim_{X\to+\infty}\frac1{X^2}+1=1$
Donc $\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0$

$\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x$

Solution

Pour tout $x\in\R,~\sqrt{e^{-x}}x=\frac x{\sqrt{e^x}}$
On a montré plus haut que $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty$
Donc $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0$

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}$

Solution

Soit $x\in\R$ :

$\begin{align} \ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\ &=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\ &=x-\ln(x^2)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\ &=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\ \end{align}$