Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites
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| Chapitre 6 | |||
| Leçon : Limites d'une fonction | |||
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| Chap. préc. : | Opérations sur les limites | ||
| Chap. suiv. : | Limite des polynômes et fractions rationnelles à l'infini | ||
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Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
[modifier] Théorèmes de domination
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Théorème |
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Soient ƒ et g deux fonctions.
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et 
, alors 
et 
, alors 
En effet, si une fonction donnée prend des valeurs de plus en plus grandes (tendant vers +∞), une autre fonction dont les valeurs seraient encore plus grandes fait de même !
De même, si une fonction donnée prend des valeurs de plus en plus petites (tendant vers -∞), une autre fonction dont les valeurs seraient encore plus petites va tendre également vers -∞.
[modifier] Théorème des gendarmes
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Théorème |
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Soit Si Ce théorème est également valable pour une limite en l'infini :
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et 
et 
, alors 
et 
et 
et 
et 
Il se comprend facilement qu'une fonction coincée entre deux autres qui ont la même limite est forcée d'avoir elle aussi cette limite par effet « d'entonnoir ».
Le nom de « théorème des gendarmes » reprend cette image. Un voleur attrapé de part et d'autre par deux gendarmes est bien obligé d'aller au même endroit qu'eux. Outre-Manche, ce théorème est parfois appelé « the sandwich theorem ».
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Exemple |
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Soit Cette limite est loin d'être facile à trouver si on n'a pas recours au théorème des gendarmes. Il suffit en effet de poser : Comme pour tout Comme de plus |
. On cherche la limite de g en 0.
, on a pour tout 
et que 
, le théorème des gendarmes permet de montrer que 
