Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme

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Propriétés algébriques du logarithme
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Chapitre 2
Leçon : Fonction logarithme
Chap. préc. : Définition du logarithme néperien
Chap. suiv. : Étude de la fonction logarithme népérien


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[modifier] Exemple

Calculer séparément à la calculatrice :

  • \ln(2)+\ln(3)\,
  • \ln(6)\,

[modifier] Propriété fondamentale du logarithme népérien

En s’inspirant de l'exemple, on peut remarquer la propriété algébrique (c’est-à-dire calculatoire) fondamentale du logarithme.


Théorème

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on a :

\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)
Démonstration

Soit a\in\R^{+*}

Pour tout x\in\R^{+*},~(\ln(a\times x))'=a\times \frac1{a\times x}=\frac1x

donc pour tout x\in\R^{+*},~\ln(a\times x)=\ln(x)+ \textrm{constante}

Pour x=1, on obtient \ln(a\times 1)=\ln(1)+\textrm{constante=constante}

Donc la constante vaut ln(a).

Finalement, pour tout x\in\R^{+*},~\ln(a\times x)=\ln(x)+\ln(a), cqfd.

[modifier] Conséquences

Théorème

Soient a et b deux réels strictement positifs : a\in ]0 : + \infty[~;~b\in ]0 : + \infty[

  • \ln(a\times b) = \ln(a) + \ln(b)
  • \ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b)
  • De plus, pour tout n \in \mathbb Z,\ \ln(a^n) = n \ln(a) \quad


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