Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle

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Propriétés algébriques de l'exponentielle
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Chapitre 3
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. : L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien
Chap. suiv. : Étude de la fonction exponentielle


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Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Propriété fondamentale

Propriété
  • Pour tous nombres réels a et b, on a :
\exp(a+b)=\exp(a) \times \exp(b)
  • Réciproquement si pour tous nombres réels a et b, on a une fonction f non nulle vérifiant :
f(a+b)=f(a) \times f(b)

alors f(x)=\exp(kx)\,


Démonstration avec le logarithme
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Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


Par définition de l'exponentielle : \ln(\exp(a+b))=a+b\,

De plus, d'après la propriété algébrique du logarithme népérien : \ln(\exp(a)\times\exp(b))=\ln(\exp(a))+\ln(\exp(b))=a+b

Les deux nombres ont le même logarithme, ils sont donc égaux.

Démonstration sans le logarithme
  • Démontrons d'abord la réciproque :

si f \neq 0 alors il existe a tel que f(a)\neq 0

mais alors f(a+0)=f(a)\times f(0) donc f(0)=1\,.

Fixons maintenant un réel y et posons \phi:x\mapsto f(x+y)=f(x)\times f(y).

Pour tout x,~\phi'(x)=f'(x+y)=f'(x)\times f'(y).

Pour x = 0, on obtient : f'(y)=f'(0)\times f(y).

En posant f'(0)=k\, cela démontre la réciproque d'après ce théorème

  • Supposons maintenant que pour tout x,~f(x) = \exp(x).

En posant \phi:x\mapsto \frac{\exp(x+y)}{\exp(x)} (exp ne s'annule pas, voir ici).

Pour tout x :

\phi'(x) = \frac{\exp'(x+y)\times \exp(x)-\exp(x+y)\times \exp'(x)}{\exp(x)^2}
\phi'(x) = \frac{\exp(x+y)\times \exp(x)-\exp(x+y)\times \exp(x)}{\exp(x)^2}=0.

donc Φ est constante et Φ(0) = exp(y) donc pour tout x,~\phi(x)=\exp(y).

On a bien montré que pour tous x et y, \exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)

[modifier] Conséquences

On utilisera souvent les formules suivantes qui se déduisent de la propriété algébrique fondamentale.


Propriété
  • Pour tout x\in\R,~\exp(-x)=\frac1{\exp(x)}
  • Pour tous réels a et b, \exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}
  • Pour tout x\in\R, pour tout n\in\mathbb N^*,~\exp(nx)=(\exp(x))^n
Démonstration
  • Soit x\in\R :
\begin{align}1&=\exp(0)\\ &=\exp(x-x)\\ &=\exp(x+(-x))\\ &=\exp(x)\times\exp(-x)\end{align}

Donc pour tout x\in\R,~\exp(-x)=\frac1{\exp(x)}

  • Soient a\in\R et b\in\R:
\begin{align} \exp(a-b)&=\exp(a+(-b))\\ &=\exp(a)\times\exp(-b)\\ &=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}\end{align}

Donc pour tous a et b réels, x\in\R,~\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}

  • Soit x\in\R:
    • On pose pour tout n\in\mathbb N^* l'hypothèse \mathcal H_n : « \exp(nx)=(\exp(x))^n\, »
    • Initialisation : Pour n = 1, \exp(x)=\exp(x)\, donc \mathcal H_1 est vraie
    • Soit n\in\mathbb N^* tel que \mathcal H_n soit vraie
\begin{align} (\exp(x))^{n+1}&=(\exp(x))^n \times \exp(x)\\ &=\exp(nx)\times\exp(x)\textrm{~par~}\mathcal H_n\\ &=\exp(nx+x)\\ &=\exp((n+1)x) \end{align}
    • Donc \mathcal H_{n+1} est vraie.
  • Finalement, le principe de récurrence permet de conclure que pour tout x\in\R, pour tout n\in\mathbb N^*,~\exp(nx)=(\exp(x))^n

[modifier] Notation

Notation

On peut adopter une notation de la fonction exponentielle sous la forme d'une puissance :

Pour tout x\in\R,~\exp(x)=e^x.

L’exponentielle se comporte comme si on « prenait » les puissances de e,


e \approx 2,718\, s'appelle le nombre de Néper.

\exp(2)=e^2\, est donc simplement e au carré

mais l’exponentielle nous permet de donner un sens à e^{2,7}\, par exemple.

[modifier] Application

  • Soit x tel que ex = 3,56. Calculer e2x+3 sans calculer x.
Solution
  • e^{2x}=\left(e^x\right)^2=12,6736
  • e^3\approx20,0855
  • Donc e^{2x+3}=e^{2x}\times e^3\approx254,5561
  • Déterminer une valeur approchée de e^{\frac12} sans utiliser la touche « ex » de la calculatrice.
Solution

D'après la propriété algébrique :

(e^\frac12)^2=e^1

donc

e^\frac12=\sqrt{e}\approx\sqrt{2,718}\approx1,65


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Autre méthode : On sait que \ln\left(\exp\left(\frac12\right)\right)=\frac12

On tâtonne donc pour trouver un nombre donc le logarithme népérien vaut \frac12. Avec un peu de patience, on finit par trouver que 1,64\leq e^{\frac12}\leq 1,65.


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