Fonction exponentielle/L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien

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**L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre 2
Chap. préc. :	L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle
Chap. suiv. :	Propriétés algébriques de l'exponentielle

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Fonction exponentielle/L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce chapitre présente une définition alternative de la fonction exponentielle, à partir du logarithme népérien

Sommaire

1 Exponentielle et logarithme népérien

[modifier] Exponentielle et logarithme népérien

[modifier] Définition

Rappel : Tableau de variations de ln

$\begin{array}{c|ccc|} x&0&&+\infty\\ \hline & &&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~\ln&&\nearrow&\\ &-\infty&& \end{array}$

Définition

Soit x un nombre réel. On appelle exponentielle de x et on note exp(x) l’unique nombre réel tel que $\ln(\exp(x))=x\,$ .

[modifier] Propriétés élémentaires

Propriété

$\exp(0)=1\,$
Pour tout x strictement positif : $\exp(\ln(x))=x\,$

Démonstration

On ne prend le logarithme que d'un nombre strictement positif.
$\ln(1)=0\,$
e est justement le nombre dont le logarithme vaut 1.
$\ln\left(\exp(\ln(x))\right)=\ln(x)$ . Les deux nombres ont le même logarithme, ils sont donc égaux.