Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle

**Étude de la fonction exponentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre n^o 4
Chap. préc. :	Propriétés algébriques de l'exponentielle
Chap. suiv. :	Croissances comparées
Exercices :	Étude de la fonction exponentielle

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Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dérivée de la fonction exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

Rappel

La dérivée de la fonction $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ est elle-même :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp '(x)=\mathrm {e} ^{x}$ .

Cette propriété est inhérente à la définition de $\exp$ comme solution d'une équation différentielle. Nous avons admis que cette définition de $\exp$ est équivalente à celle à partir du logarithme népérien.

Variations de la fonction exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

Positivité de l'exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exp(x)>0$ .

Démonstration

C'est une conséquence de la propriété algébrique fondamentale de l'exponentielle.

Variations de la fonction exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

Corollaire

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb {R}$ .

En effet, $\exp '=\exp >0$ . Le signe de la dérivée de la fonction exponentielle est toujours positif, donc la fonction est toujours croissante sur son ensemble de définition.

Limites aux bornes[modifier | modifier le wikicode]

Les deux propositions ci-dessous seront généralisées et démontrées au chapitre suivant.

Limite en + ∞[modifier | modifier le wikicode]

Proposition

$\lim _{x\to +\infty }\mathrm {e} ^{x}=+\infty$ .

Limite en -∞[modifier | modifier le wikicode]

Proposition

$\lim _{x\to -\infty }\mathrm {e} ^{x}=0$ .

Courbe représentative[modifier | modifier le wikicode]

Tangente remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Propriété

Au point $(a,\mathrm {e} ^{a})$ , la tangente a pour équation $y=\mathrm {e} ^{a}(x-a+1)$ . En particulier au point $(0,1)$ , la tangente a pour équation $y=x+1$ .

On peut donc donner une approximation affine de exp au voisinage de 0 : $\mathrm {e} ^{x}\approx x+1$ .

Démonstration

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est: $y=\exp(a)+\exp '(a)(x-a)$ , car : $\exp '(a)=\mathrm {e} ^{a}$ .

Propriété

Graphiquement, la courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de toutes ses tangentes.

En particulier :

$\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>x+1$ .

Démonstration

Montrons d'abord que $\forall x\neq 0\quad \mathrm {e} ^{x}>x+1$ , en étudiant la fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{x}-x-1$ .