Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle

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**Étude de la fonction exponentielle**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre 4
Chap. préc. :	Propriétés algébriques de l'exponentielle
Chap. suiv. :	Croissances comparées

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Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Dérivée de la fonction exponentielle
2 Variations de la fonction exponentielle
- 2.1 Positivité de l'exponentielle
- 2.2 Variations de la fonction exponentielle
3 Limites aux bornes
- 3.1 Limite en + ∞
- 3.2 Limite en -∞
4 Courbe représentative
- 4.1 Tangente remarquable

[modifier] Dérivée de la fonction exponentielle

Théorème

La dérivée de la fonction $f:x\mapsto e^x$ est elle-même : $f':x\mapsto e^x$

Démonstration (si l'on ne considère pas que cette propriété fait partie de la définition de exp)

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Soit la fonction $u:x\mapsto e^x$ , définie sur $\R$ .
On sait que pour tout $x\in\R,~\ln(e^x)=\ln(u(x))=x$ .
En dérivant chaque membre, pour tout $x\in\R,~\frac{u'(x)}{u(x)}=1$ .
Donc pour tout $x\in\R,~u'(x)=u(x)=e^x$

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

[modifier] Positivité de l'exponentielle

Propriété

Pour tout $x\in\R,~\exp(x)>0$

Démonstration

Pour tout $x\in\R,e^x=\left(e^{\frac x2}\right)^2$ , donc pour tout $x\in\R,~e^x\geq0$
De plus, s'il existe $x_0\in\R$ tel que $e^{x_0}=0$ ,

alors pour tout $x\in\R,~e^x=e^{(x-x_0)+x_0}=e^{x_0}\times e^{x-x_0}=0$ , ce qui est faux car $\exp(0)=1\,$

Donc pour tout $x\in\R,~\exp(x)>0$

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

Théorème

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ .

Démonstration

On sait que si pour tout $x\in\R,~f(x)=e^x$ , alors f est dérivable et pour tout $x\in\R,~f'(x)=e^x$ .
Donc pour tout $x\in\R,~f'(x)>0$ car l’exponentielle d’un nombre réel est strictement positive.
Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ .

[modifier] Limites aux bornes

[modifier] Limite en + ∞

Théorème

$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$

Démonstration

Comme la fonction exponentielle est croissante, il suffit d’étudier la limite de $e n$ , où n est un entier naturel. Cette suite est géométrique de raison e >1, donc elle tend vers plus l’infini quand n tend vers plus l’infini.

[modifier] Limite en -∞

Théorème

$\lim_{x\to-\infty}e^x=0$

Démonstration

Comme précédemment :

$\lim_{x\to+\infty} e^{-n}=\lim_{x\to+\infty}\frac1{e^n}=0$

[modifier] Courbe représentative

On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction exponentielle.

[modifier] Tangente remarquable

Propriété

Au point (0 ; 1), la tangente a pour équation $y=x+1\,$ ,

on peut donc donner une approximation affine de exp au voisinage de 0 :

$e^x\approx 1+x$

Démonstration

Le nombre dérivé de l'exponentielle en 0 vaut e⁰=1 et l'ordonnée à l’origine e⁰=1.

Fonction exponentielle

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Croissances comparées

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Sommaire

[modifier] Dérivée de la fonction exponentielle

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

[modifier] Positivité de l'exponentielle

[modifier] Variations de la fonction exponentielle

[modifier] Limites aux bornes

[modifier] Limite en + ∞

[modifier] Limite en -∞

[modifier] Courbe représentative

[modifier] Tangente remarquable

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