Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

Une page de Wikiversité.


L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle
Nuvola apps edu mathematics-p.svg
Chapitre 1
Leçon : Fonction exponentielle
Retour au Sommaire
Chap. suiv. : L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien


Icon falscher Titel.svg

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle
Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Exponentielle et équation différentielle

Définition

Il existe une unique fonction dérivable de \R dans \R, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

  • \exp(0)=1\,
  • Pour tout x\in\R,~\exp'(x)=\exp(x)

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée valant 1 en 0.


Démonstration

Existence : On admet ici l'existence qui peut être démontrée en calcul intégral.

Unicité :

  • Remarquons tout d'abord que f ne s'annule pas sur \R.

En effet la fonction définie par \phi (x)=f(x)\times f(-x) a pour dérivée :

\phi'(x)=f'(x)\times f(-x)-f(x)\times f'(-x)=f(x)\times f(-x)-f(x)\times f(-x)=0.

donc \phi\, est constante et comme \phi (0)=1\,,

on en déduit \phi(x)=1\, pour tout x.

Finalement f(x)\times f(-x)=1 pour tout x donc f(x)\, ne s'annule pas.


  • Soit g une autre fonction dérivable sur \R telle que :
g'=g\, et g(0)=1\,,

alors h=\frac{g}{f} est défine et dérivable sur \R (car f ne s'annule pas).

Alors h'=\frac{g'f-gf'}{f^2}=\frac{gf-gf}{f^2}=0

donc h est constante sur \R. Or h(0)=\frac{g(0)}{f(0)}=1 donc g=f\,.

[modifier] Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche « ex ».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe « seconde » ou « shift » suivi de la touche ln.

[modifier] Exemples

1. A la calculatrice, donner des valeurs approchées à 10 − 2 :

→
\exp(7)\, =
→
\exp(-3)\, =
→
\exp(\pi+1)\, =

Votre pointage est 0 / 0


[modifier] Cas général

Théorème

Pour tout réel k, il existe une unique fonction dérivable sur \R telle que f'=k\cdot f\, et f(0)=1\,.

Cette fonction est f:x\mapsto\exp(kx)\,.


Démonstration

Existence : f'(x)=k\cdot\exp(kx)=kf\,.

Unicité : Soit g une autre fonction dérivable sur \R telle que :

g' = kg et g(0) = 1,

alors h=\frac{g}{f} est défine et dérivable sur \R (car f ne s'annule pas).

Alors h'=\frac{g'f-gf'}{f^2}=\frac{kgf-gkf}{f^2}=0

donc h est constante sur \R. Or h(0)=\frac{g(0)}{f(0)}=1 donc g = f.

Crystal Clear action back.png Sommaire
Récupérée de « http://fr.wikiversity.org/wiki/Fonction_exponentielle/L%27exponentielle_comme_solution_d%27une_%C3%A9quation_diff%C3%A9rentielle »