Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré

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**Étude de fonctions polynômes du second degré**
Leçon : Fonction dérivée

Exercice 8
Chapitre du cours :	Dérivée et variations
Cet exercice est de niveau 11.

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Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exercice 1

Soit la fonction $f\,$ définie sur $]-\infty;+\infty[$ par pour tout $x\in\R,~f(x)=x^2-2x-3\,$

1. Déterminer la fonction dérivée $f'\,$ . 2. Compléter en justifiant le tableau de signes de $f'\,$ et le tableau de variations de $f\,$ .

x

$-\infty\,$

$+\infty\,$

Signe de $f'(x)\,$

Variations de $f\,$

3. Calculer la valeur du minimum de $f\,$ sur $\R$

Solution

1. Déterminer la fonction dérivée $f'\,$ .

La fonction ƒ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R,~f'(x)=x-2$

2. Compléter en justifiant le tableau de signes de $f'\,$ et le tableau de variations de $f\,$ .

Pour tout $x\in]-\infty;2[,~f'(x)<0$ donc ƒ est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty;2[$
Pour tout $x\in]2;+\infty[,~f'(x)>0$ donc ƒ est strictement croissante sur l'intervalle $]2;+\infty[$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&2&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f'(x)&&-&0&+&\\ \hline \textrm{Variations~de}~f&&\searrow&&\nearrow&\\ \end{array}$

3. Calculer la valeur du minimum de $f\,$ sur $\R$

D'après le tableau de variations, le minimum de ƒ est atteint au point d'abscisse 32 et vaut $f(2)=-3\,$

[modifier] Exercice 2

Donner les tableaux de variations des fonctions suivantes sur $\R$ .

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1\,$
$f_2:x\mapsto x^2-2x+2\,$
$f_3:x\mapsto -x^2+3\,$
$f_4:x\mapsto -3x^2-x\,$

Solution

$f_1:x\mapsto 2x^2+3x+1\,$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&\displaystyle{-\frac34}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_1'(x)&&-&0&+&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f_1&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&\displaystyle{-\frac18}&&\\ \end{array}$

$f_2:x\mapsto x^2-2x+2\,$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_2'(x)&&-&0&+&\\ \hline &+\infty&&&&+\infty\\ \textrm{Variations~de}~f_2&&\searrow&&\nearrow&\\ &&&1&&\\ \end{array}$

$f_3:x\mapsto -x^2+3\,$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_3'(x)&&+&0&-&\\ \hline &&&3&&\\ \textrm{Variations~de}~f_3&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \end{array}$

$f_4:x\mapsto -3x^2-x\,$

$\begin{array}{c|ccccc|} x&-\infty&&-\displaystyle{\frac16}&&+\infty\\ &&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f_4'(x)&&+&0&-&\\ \hline &&&\displaystyle{\frac14}&&\\ \textrm{Variations~de}~f_4&&\nearrow&&\searrow&\\ &-\infty&&&&-\infty\\ \end{array}$

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[modifier] Exercice 1

[modifier] Exercice 2

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