Fonction dérivée/Extremum local

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Extremum local
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Chapitre 5
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. : Dérivée et variations
Chap. suiv. : Dérivée d'un produit


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Fonction dérivée/Extremum local », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Extremum local

Maximum local

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I.

  • ƒ(x0) est un maximum local de ƒ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J contenant x0 tel que

pour tout x\in J\cap I : f(x)\leq f(x_0).

MaximumLocalDefinition.svg



Définition
  • On a une définition similaire pour un minimum local :
ƒ(x0) est un minimum local de ƒ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J contenant x0 tel que

pour tout x\in J\cap I : f(x)\geq f(x_0).

  • On rassemble maximum et minimum sous le qualificatif extremum.

[modifier] Théorèmes

Théorème

Soient ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un réel intérieur à I.

Si f(x_0)\, est un extremum local de ƒ, alors f'(x_0)=0\,.


Nuvola apps important.svg La réciproque de ce théorème est fausse, voir infra l'exemple de la fonction cube.



Théorème

Soient ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un réel intérieur à I.

Si f'\, s'annule en x_0\, en changeant de signe, alors f(x_0)\, est un extremum local de f.

[modifier] Exemple de la fonction cube

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  1. Énoncer une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une fonction ƒ dérivable sur I admette un extremum local en x0 intérieur à I.
  2. Énoncer la réciproque de ce théorème.
  3. Démontrer que dans le cas de la fonction définie sur \R par f:x\mapsto x^3, cette réciproque est fausse.
  4. Que « manque-t-il » à la fonction f'\, pour que f\, admette un extremum local en 0 ?
Solution
1. Énoncer une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une fonction ƒ dérivable sur I admette un extremum local en x0 intérieur à I.

Pour qu'une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I admette un extremum local en un réel x0 intérieur à I, il est nécessaire que f'(x_0)=0\,. Cette condition n'est cependant pas suffisante.


2. Énoncer la réciproque de ce théorème.

La réciproque est « Si une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I vérifie en un réel x0 intérieur à I l'égalité f'(x_0)=0\,, alors ƒ admet un extremum local en x0 »


3. Démontrer que dans le cas de la fonction définie sur \R par f:x\mapsto x^3, cette réciproque est fausse.

La fonction cube est dérivable sur \R et, pour tout x\in\R,~f'(x)=3x^2.

On a donc ƒ'(0) = 0.

Or, la fonction cube n'admet pas d'extremum local au point d'abscisse 0. En effet, la fonction cube est strictement croissante ! La réciproque énoncée en 2 est donc fausse.

4 Que « manque-t-il » à la fonction f'\, pour que f\, admette un extremum local en 0 ?

Il faudrait, pour avoir un extremum en 0, que le sens de variation de ƒ change en passant en 0. Or, pour tout x\in\R,~f'(x)\geq 0.

Il « manque » donc à ƒ' un changement de signe.


Crystal Clear action back.png Dérivée et variations
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