Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du troisième degré

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**Étude de fonctions polynômes du troisième degré**
Leçon : Fonction dérivée

Exercice 10
Chapitre du cours :	Dérivée et variations
Cet exercice est de niveau 11.

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Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du troisième degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Exercice

Soit la fonction ƒ définie sur $\R$ par $f:x\mapsto -x^3+3x^2+9x+6$

Calculer la dérivée de ƒ
Étudier le signe de cette dérivée
Tracer le tableau de variations de ƒ

Solution

1. Calculer la dérivée de ƒ

Pour tout $x\in\R,~f'(x) = -3x^2+6x+9 = 3(-x^2+2x+3)$

2. Étudier le signe de cette dérivée

Le discriminant du polynôme du second degré $-X^2+2X+3\,$ vaut

$\begin{align}\Delta &=b^2-4ac\\ &=2^2-4\times(-1)\times 3\\ &= 4+12\\ &=16 \end{align}$

$\Delta>0\,$ donc le polynôme $-X^2+2X+3\,$ admet deux racines réelles distinctes $x_1\,$ et $x_2\,$ :

$\begin{align} x_1 &= \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\\ &= \frac{-2-\sqrt{16}}{-2}\\ &= 3 \end{align}$

$\begin{align} x_2 &= \frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\ &= \frac{-2+\sqrt{16}}{-2}\\ &= -1 \end{align}$

Le trinôme est du signe de a sauf entre les racines. On en déduit le tableau de signes de ƒ'

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&3& &+\infty\\ &&&&&&&\\ \hline \textrm{Signe~de}~f'(x)&&-&0&+&0&-&\\ \hline \end{array}$

3. Tracer le tableau de variations de ƒ

$\begin{array}{c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&3&&+\infty\\ \hline {\rm Signe~de~}f'(x) &&-&&+&&-&\\ \hline &&&&&33&&\\ \textrm{Variations~de}~f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ &&&1&&&&\\ \end{array}$

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