Fonction exponentielle/L'exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

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Ce chapitre présente une définition alternative de la fonction exponentielle, à partir du logarithme népérien, lui-même défini comme la primitive de la fonction $x\mapsto 1/x$, qui s'annule au point $1$. Nous admettrons que ces deux définitions sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Exponentielle et logarithme népérien

Définition

Rappel : Tableau de variations de la fonction logarithme népérien ($\ln$)

${\begin{array}{c|ccc|}y&0&&+\infty \\\hline &&&+\infty \\{\text{Variations de }}\ln(y)&&\nearrow &\\&-\infty &&\end{array}}$

Définition

L'exponentielle d'un réel $x$, notée $\exp(x)$, est l’unique réel $y>0$ tel que $\ln(y)=x$.

Autrement dit, $\exp(x)$ est défini par : $\ln \left(\exp(x)\right)=x$

Propriétés élémentaires

Propriété

• Pour tout réel $y>0$ : $\exp(\ln y)=y$
• $\exp(0)=1$.
• Pour tous réels $a$, $b$ et $r$ :
  • $\exp(a+b)=\exp(a).\exp(b)$
  • $\exp(a-b)={\frac {\exp(a)}{\exp(b)}}$
  • $\exp(ra)=(\exp a)^{r}$

Démonstration

• Soit $x=\ln(y)$. Alors, $y=\exp(x)=\exp(\ln(y))$.
• En particulier, $\exp(0)=\exp(\ln(1))=1$.
• Les autres propriétés résultent des propriétés algébriques du logarithme. Par exemple pour la première : en posant $c=\exp(a)$ et $d=\exp(b)$, on trouve $\ln(cd)=\ln(c)+\ln(d)=a+b$ donc $\exp(a+b)=cd$.

 

Application

L'exponentielle permet de résoudre des équations quand l'inconnue est dans un logarithme.

• Résoudre de manière approchée l’équation $\ln(x)=5,2$

Solution

$x=\exp(5,2)\approx 181,27$

 

• Résoudre de manière approchée l’équation $\exp(x)=5,2$

Solution

$x=\ln(5,2)\approx 1,649$

 

• Déterminer une valeur approchée de $\exp \left({\frac {1}{2}}\right)$ sans utiliser la touche «e^x» de la calculatrice.

Solution

On sait que $\ln \left(\exp \left({\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}$

On tâtonne donc pour trouver un nombre dont le logarithme népérien vaut ${\frac {1}{2}}$. Avec un peu de patience, on finit par trouver que $1,64\leq e^{\frac {1}{2}}\leq 1,65$.