Espace vectoriel/Familles de vecteurs

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Familles de vecteurs
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Chapitre 2
Leçon : Espace vectoriel
Chap. préc. : Définitions
Chap. suiv. : Dimension


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Espace vectoriel/Familles de vecteurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

\mathbb K désigne \R ou \mathbb C

Soient :

  • E et F deux \mathbb K-espaces vectoriels
  • I un ensemble fini
  • x=(x_i)_{i\in I}\in E^I une famille d'éléments de E


Sommaire

[modifier] Familles de vecteurs

[modifier] Famille génératrice

Définition

La famille x est génératrice ssi E=\mathrm{Vect}(x)\,.

[modifier] Famille libre, famille liée

Définition

La famille x est dite libre ssi il n'existe pas de relation linéaire dans x.

Une famille qui n'est pas libre est dite liée.

[modifier] Base

[modifier] Définition

Définition

La famille x est une base de E ssi x est libre et génératrice.



Propriété

Si x est une base de E, alors tout vecteur de E admet une unique décomposition suivant les (x_i)_i\, :
\forall v\in E,~\exists !(\lambda_i)_i\in\mathbb K^I,~v=\sum_{i\in I}\lambda_ix_i



Définition

La famille λ est alors appelée famille des coordonnées de v dans la base x.

[modifier] Base canonique

Base canonique d'un espace vectoriel

Souvent, un espace vectoriel est muni d'une base privilégiée, appelée base canonique. La base canonique est la base qui paraît « la plus naturelle » pour travailler dans l'espace vectoriel étudié.



Quelques bases canoniques d'espaces courants
  • La base canonique de \mathbb C en tant que \R-espace vectoriel est (1,i)\,. Ceci est assuré par l'existence et l'unicité des parties réelle et imaginaire de tout complexe.
  • La base canonique de l'espace \R^n en tant que \R-espace vectoriel est la famille e définie par :

\left(e_1=\begin{array}{|l}1\\0\\\vdots\\0\end{array},e_2=\begin{array}{|l}0\\1\\\vdots\\0\end{array},\ldots,e_n=\begin{array} {|l}0\\0\\\vdots\\1\end{array}\right)

que l'on imagine naturellement orthonormée directe, comme on a l'habitude de la voir naturellement.

  • La base canonique de l'espace des polynômes de degré 4 à une indéterminée X à coefficients dans \mathbb C, noté \mathbb C_4[X], en tant que \mathbb C-espace vectoriel est la famille (1,X,X^2,X^3,X^4)\,.

[modifier] Changement de bases

Un quadrillage cartésien

Un vecteur est une entité géométrique. Il ne dépend pas du formalisme utilisé pour son étude, en particulier de la base dans laquelle on choisit d'exprimer ses coordonnées. Le choix de deux bases différentes conduira à deux systèmes de coordonnées différents pour décrire le même objet.

C'est un peu comme si on étudiait une poutre dans un quadrillage d'unité 1 cm et dans un quadrillage d'unité 5,27 dm. Les expressions des propriétés de la poutre (longueur, largeur...) seront différentes dans les deux repères, mais décriront bien le même objet.


Autre base de \mathbb C

On rappelle que j=e^{\frac{2i\pi}3}. On considère \mathbb C en tant que \R-espace vectoriel.

  • On note e=(1,i)\, la base canonique de \mathbb C
  • On note f=(1,j)\,. f est une autre base de \mathbb C.

Soit z=1+i\,.

  • Dans la base e, z a pour coordonnées \begin{array}{|l}1\\1\end{array}
  • Dans la base f, z a pour coordonnées \begin{array}{|l}1+\frac{\sqrt3}3\\\frac23\sqrt3\end{array}.
En effet, i=\left(j+\frac12\right)\frac2\sqrt3 donc z=\left(1+\frac\sqrt33\right)+\frac23\sqrt3j


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