Produit vectoriel/Double produit vectoriel
Le vecteur appartient toujours au sous-espace engendré par et , puisqu'il est orthogonal à l'orthogonal de ce sous-espace. Ce vecteur est donc combinaison linéaire de et . La formule du double produit vectoriel explicite les coefficients de cette combinaison sous forme de produits scalaires :
On peut développer les deux membres de l'équation en coordonnées dans une base orthonormée directe quelconque, et constater que les deux résultats sont égaux.
Les calculs sont plus simples si est colinéaire à et combinaison linéaire de et (lorsque et sont colinéaires, on construit facilement une telle base orthonormée directe et lorsqu'ils ne le sont pas, il suffit d'appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt).
Dans une telle base, les trois vecteurs ont pour coordonnées :
avec réels.
Ainsi :
d'où l'égalité.
- Remarque
- De même (par antisymétrie) : , ou encore : , différent de en général.