Produit vectoriel/Exercices/Double produit vectoriel

On se place, comme dans toute cette leçon, dans un espace vectoriel euclidien orienté $E$ de dimension 3. On omet ici les flèches sur les vecteurs.

Exercice 2-1

Démontrer que

$\forall u,v,w\in E\quad [u\land v,v\land w,w\land u]=[u,v,w]^{2}$.

Solution

$[u\land v,v\land w,w\land u]=z\cdot (w\land u)$ avec

$z=(u\land v)\land (v\land w)=\left((u\land v)\cdot w\right)v-\left((u\land v)\cdot v\right)w=[w,u,v]v-[v,u,v]w=[w,u,v]v$ donc

$[u\land v,v\land w,w\land u]=[w,u,v]v\cdot (w\land u)=[w,u,v]^{2}$, or $[w,u,v]=[u,v,w]$.

 

Exercice 2-2

Soient $a,b\in E$ avec $a\neq 0$. Déterminer les vecteurs $u$ tels que $a\land u=b$.

Solution

Si $b\not \perp a$, il n'y a pas de solution.

Si $b\perp a$, soit $c:=a\land b$. Alors, $a\land c=(a\cdot b)a-(a\cdot a)b=-\|a\|^{2}b$ donc $u_{0}:=-{\frac {c}{\|a\|^{2}}}$ est une solution et $a\land (u_{0}+h)=b\Leftrightarrow a\land h=0$. Par conséquent, l'ensemble des solutions est $u_{0}+\mathbb {R} a$.

 

Exercice 2-3

Soient $u\in E$ un vecteur unitaire et $p:E\to E$ définie par

$p(v)=u\land (v\land u)$.

Montrer que $p$ est la projection orthogonale sur le plan $u^{\perp }$.

Solution

$u\land (v\land w)=\left\langle u,w\right\rangle v-\left\langle u,v\right\rangle w$, en particulier $p(v)=v-\left\langle u,v\right\rangle u$, donc $p(u)=0$ et $\forall v\perp u\quad p(v)=v$.