Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

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Exponentielle et équation différentielle de premier ordre

Théorème et définition

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

• $\exp(0)=1$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0 (lorsque $x=0$).

L'existence de la fonction exponentielle, admise à ce niveau, peut être démontrée par de nombreuses méthodes, dont aucune n'est élémentaire. Un exercice de niveau 15 propose une démonstration à l'aide des suites.

L'unicité de cette fonction sera généralisée et démontrée plus bas. La preuve d'unicité montrera, de plus, que pour tout réel $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$. En particulier, $\exp(x)\neq 0$.

La fonction exponentielle est aussi utilisée dans la résolution d'équations différentielles de premier ordre.

En effet, une équation différentielle de premier ordre, à coefficients et second membre variables, est exprimée comme suit: $a(x).y'+b(x).y=c(x)$ (1)

• $a(x),b(x),c(x)$: Fonctions connues et dépendantes de la variable $x$.
• $y$: Fonction à déterminer et dépendante de la variable $x$.
• $y'$: Dérivée première de la fonction $y$ et dépendante de la variable $x$.

La solution complète de l'équation différentielle (1) s'écrit sous la forme générale suivante: $y=y_{H}(x)+y_{p}(x)=K.e^{-F(x)}+g(x).e^{-F(x)}$

• $y_{H}(x)=K.e^{-F(x)}$: Solution générale de l'équation différentielle (1).
  • $K=e^{C}$: Constante réelle.
  • $F(x)$: Primitive de la fonction $f(x)={b(x) \over a(x)}$
• $y_{p}(x)=g(x).e^{-F(x)}$ : Solution particulière de l'équation différentielle (1).
  • $g(x)=\int {c(x) \over a(x)}.e^{F(x)}dx$

Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche «$e^{x}$».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe «seconde» ou «shift» suivi de la touche $\ln$.

Exemples

A la calculatrice, donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ :

$\exp(7)$ =

$\exp(-3)$ =

$\exp(\pi +1)$ =

Cas général

Début d’un théorème

Théorème

• Pour tout réel $k$ $(k\in \mathbb {R} )$, la fonction $x\mapsto \exp(kx)$ est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que :
• $f'=kf$
• $f'(0)=k$
• $f(0)=1$
• Cette fonction vérifie : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)\times f(-x)=1$.

Fin du théorème

Démonstration

• La fonction $f_{0}:x\mapsto \exp(kx)$ vérifie évidemment $f'_{0}=kf_{0}$ et $f_{0}(0)=1$.
• Réciproquement, soit $f$ une fonction telle que $f'=kf$ et $f(0)=1$.
  • Posons $g(x)=f(x)f_{0}(-x)$.
  • D’après les règles usuelles de dérivation : $\forall x\in \mathbb {R} \quad g'(x)=f'(x)f_{0}(-x)+f(x)f'_{0}(-x)=\left(kf(x)\right)f_{0}(-x)-f(x)\left(kf_{0}(-x)\right)=0$
  • Donc $g$ est constante et égale à sa valeur pour $x=0$ c'est-à-dire à $1$. Tout ceci prouve que : $\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)f_{0}(-x)=1$.
  • En particulier, $\forall x\in \mathbb {R} \quad f_{0}(x)f_{0}(-x)=1$.
• On déduit de ces deux points que $f=f_{0}$.